Question

（20分）某興趣小組設計了一種實驗裝置，用來研究碰撞問題，其模型如題圖所示不用完全相同的輕繩將N個大小相同、質量不等的小球并列懸掛于一水平桿、球間有微小間隔，從左到右，球的編號依次為1、2、3……N，球的質量依次遞減，每球質量與其相鄰左球質量之比為k（k＜1.將1號球向左拉起，然后由靜止釋放，使其與2號球碰撞，2號球再與3號球碰撞……所有碰撞皆為無機械能損失的正碰.（不計空氣阻力，忽略繩的伸長，g取10 m/s²）

（1）設與n+1號球碰撞前，n號球的速度為v_n,求n+1號球碰撞后的速度.
（2）若N＝5,在1號球向左拉高h的情況下，要使5號球碰撞后升高16k（16 h小于繩長）問k值為多少？
（3）在第（2）問的條件下，懸掛哪個球的繩最容易斷，為什么？

Answer 1

（1）v_n-1=
（2）k=
（3）懸掛1號球的繩最容易斷.

（1）設n號球質量為m,n+1，碰撞后的速度分別為取水平向右為正方向，據題意有n號球與n+1號球碰撞前的速度分別為v_n、0、m_n+1
根據動量守恒，有                 （1）
根據機械能守恒，有=         （2）  
由（1）、（2）得
設n+1號球與n+2號球碰前的速度為E_n+1
據題意有v_n-1=
得v_n-1==                                      （3）
（2）設1號球擺至最低點時的速度為v₁,由機械能守恒定律有
                                        （4）
v₁=                                             （5）
同理可求，5號球碰后瞬間的速度
                                       （6）
由（3）式得                       （7）
N=n=5時，v₅=                        （8）
由（5）、（6）、（8）三式得
k=                         （9）
（3）設繩長為l,每個球在最低點時，細繩對球的拉力為F,由牛頓第二定律有
                                           （10）
則           （11）
（11）式中E_kn為n號球在最低點的動能
由題意1號球的重力最大，又由機械能守恒可知1號球在最低點碰前的動能也最大，根據（11）式可判斷在1號球碰前瞬間懸掛1號球細繩的張力最大，故懸掛1號球的繩最容易斷.