Question

（2011?山西模擬）如圖所示，在一底邊長為2a，θ=30°的等腰三角形區域內（D在底邊中點），有垂直紙面向外的勻強磁場．現有一質量為m，電量為q的帶正電粒子從靜止開始經過電勢差為U的電場加速后，從D點垂直于EF進入磁場，不計重力和與空氣阻力的影響．
（1）若粒子恰好垂直于EC邊射出磁場，求磁場的磁感應強度B為多少？
（2）改變磁感應強度的大小，粒子進入磁場偏轉后能打到ED板，求粒子從進入磁場到第一次打到ED板的最長時間是多少？
（3）改變磁感應強度的大小，可以再延長粒子在磁場中的運動時間，求粒子在磁場中運動的極限時間．（不計粒子與ED板碰撞的作用時間．設粒子與ED板碰撞前后，電量保持不變并以相同的速率反彈）

Answer 1

分析：（1）由動能定理求粒子進入勻強磁場的速度，畫出粒子的軌跡運動圖，由幾何知識求半徑；
（2）從進入磁場到第一次打到ED板的圓周軌跡到EC邊相切時，路程最長，運動時間最長；
（3）當r越小，后一次打到ED板的點越靠近E端點，在磁場中圓周運動累積路程越大，時間越長．當r為無窮小，經過n個半圓運動，最后一次打到E點．

解答：解：（1）依題意，粒子經電場加速射入磁場時的速度為v
由qU=

1

2

mv²得：

v=

2qU m

 ①
粒子在磁場中做勻速圓周運動其圓心在E點，如圖所示，半徑r₁=a ②
由洛侖茲力提供向心力：qvB=m

v2

r1

 ③
由①②③式得：B=

1

a

2mU q

                   
（2）粒子速率恒定，從進入磁場到第一次打到ED板的圓周軌跡到EC邊相切時，路程最長，運動時間最長．如圖，設圓周半徑為r₂
由圖中幾何關系：r₂+

r2

sinθ

=a  　　　
得：r₂=

1

3

a  …④
最長時間t=

πr2

v

  …⑤
由①④⑤式得：t=

πa

3

m 2qU

　　　
（3）設粒子運動圓周半徑為r，r=

mv

qB

，當r越小，后一次打到ED板的點越靠近E端點，在磁場中圓周運動累積路程越大，時間越長．當r為無窮小，經過n個半圓運動，最后一次打到E點．
有：n=

a

2r

   …⑥
圓周運動周期：T=

2πr

v

   …⑦
最長的極限時間：t_m=n

T

2

   …⑧
由⑥⑦⑧式得：t_m=

πa

2v

=

πa

2

m 2qU

　
答：（1）若粒子恰好垂直于EC邊射出磁場，磁場的磁感應強度B為

1

a

2mU q

；
（2）粒子從進入磁場到第一次打到ED板的最長時間是

πa

3

m 2qU

；
（3）粒子在磁場中運動的極限時間為

πa

2

m 2qU

．

點評：做好此類題目的關鍵是準確的畫出粒子運動的軌跡圖，利用幾何知識求出粒子運動的半徑，再結合半徑公式和周期公式去分析．