Question

【題目】如圖所示，AB與CD是兩段半徑為R的四分之一光滑圓弧軌道，圓心連線O1O2水平，BC錯開的距離略大于小球的直徑，整個裝置豎直放置于水平長軌道MN上，AB與水平軌道MN相切于A點。有一自由長度小于MP的輕彈簧左端固定于M處，右端與質量為m的小球接觸（不拴接）。水平軌道MP段光滑，PA段粗糙、長為2R，運動小球受到PA段阻力為小球重力的0.25倍。開始時，彈簧處于被壓縮的鎖定狀態，鎖定時的彈性勢能EP=5mgR，解除鎖定后，小球將被彈出，重力加速度為g，試計算：

（1）小球對圓弧軌道A點壓力的大小和方向；

（2）判斷小球能否過D點，若能過D點，則計算小球落在軌道MN上的位置離D點的水平距離。

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】（1）解除彈簧鎖定后，彈簧彈性勢能轉化為小球動能

小球從P運動到A點過程中，根據動能定理

到圓弧軌道A點，設小球受軌道的彈力為N，運用牛頓第二定律

由、、式，代入f＝0.25mg，EP=5mgR等，得：

根據牛頓第三定律，小球對圓弧軌道A點壓力，方向垂直水平軌道向下。

（2）如果小球恰好能經過D點，速度為，則有

小球從P運動到D點過程中，根據動能定理

小球恰能到達D點所需的彈性勢能

由、、得：

因為>，所以小球能過D點，并從D點水平拋出

根據能量轉化與守恒定律，得：

從D點平拋后

由、、得：