Question

（14分）

 

（1）開普勒行星運動第三定律指出：行星繞太陽運動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉周期T的二次方成正比，即，k是一個對所有行星都相同的常量。將行星繞太陽的運動按圓周運動處理，請你推導出太陽系中該常量k的表達式。已知引力常量為G，太陽的質量為M_太。

（2）開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統（如地月系統）都成立。經測定月地距離為3.84×10⁸m，月球繞地球運動的周期為2.36×10⁶S，試計算地球的質M_地。（G=6.67×10^-11Nm²/kg²，結果保留一位有效數字）

【解析】：（1）因行星繞太陽作勻速圓周運動，于是軌道的半長軸a即為軌道半徑r。根據萬有引力定律和牛頓第二定律有

                            ①

    于是有                           ②

即                                ③

（2）在月地系統中，設月球繞地球運動的軌道半徑為R，周期為T，由②式可得

                                ④

解得     M_地=6×10²⁴kg                         ⑤

（M_地=5×10²⁴kg也算對）

23．【題文】（16分）

     如圖所示，在以坐標原點O為圓心、半徑為R的半圓形區域內，有相互垂直的勻強電場和勻強磁場，磁感應強度為B，磁場方向垂直于xOy平面向里。一帶正電的粒子（不計重力）從O點沿y軸正方向以某一速度射入，帶電粒子恰好做勻速直線運動，經t₀時間從P點射出。

（1）求電場強度的大小和方向。

（2）若僅撤去磁場，帶電粒子仍從O點以相同的速度射入，經時間恰從半圓形區域的邊界射出。求粒子運動加速度的大小。

（3）若僅撤去電場，帶電粒子仍從O點射入，且速度為原來的4倍，求粒子在磁場中運動的時間。

 

Answer 1

（1）    （2）   （3） 

解析:：（1）設帶電粒子的質量為m，電荷量為q，初速度為v，電場強度為E。可判斷出粒子受到的洛倫磁力沿x軸負方向，于是可知電場強度沿x軸正方向

且有    qE=qvB                      ①

又     R=vt₀                        ②

則                           ③

（2）僅有電場時，帶電粒子在勻強電場中作類平拋運動

在y方向位移                  ④

由②④式得                          ⑤

設在水平方向位移為x，因射出位置在半圓形區域邊界上，于是

                  

又有                          ⑥

得                             ⑦

（3）僅有磁場時，入射速度，帶電粒子在勻強磁場中作勻速圓周運動，設軌道半徑為r，由牛頓第二定律有

                               ⑧

又                qE=ma                  ⑨

由⑦⑧⑨式得                      ⑩

由幾何關系                      11

即                       12

帶電粒子在磁場中運動周期

           

則帶電粒子在磁場中運動時間

           

所以                             13