Question

如圖所示，傾角為α的光滑斜面與半徑為R=0.4m的半圓形光滑軌道在同一豎直平面內，其中斜面與水平面BE光滑連接，水平面BE長為L=0.4m，直徑CD沿豎直方向，C、E可看作重合．現有一可視為質點的小球從斜面上距B點豎直距離為H的地方由靜止釋放，小球在水平面上所受阻力為其重力的

1

5

．（取g=10m/s²）
（1）若要使小球經E處水平進入圓形軌道且能沿軌道運動，H至少要有多高？若小球恰能沿軌道運動，那么小球在水平面DF上能滑行多遠？
（2）若小球釋放處離B點的高度h小于（1）中H的最小值，小球可擊中與圓心等高的G點，求此h的值．

Answer 1

分析：（1）小球從光滑軌道下滑，機械能守恒，設到達B點時的速度大小為υ．小球能在豎直平面內做圓周運動，在圓周最高點必須滿足mg≤m

v2

R

，在BC平面上做勻減速運動，根據牛頓第二定律求出加速度，根據速度位移公式列式，聯立即可求解；
（2）若h＜H，小球過E點后做平拋運動，設球經E點時的速度大小為υ_x，根據平拋運動的規律結合動能定理即可求解．

解答：解：（1）小球從光滑軌道下滑，機械能守恒，設到達B點時的速度大小為υ．則：mgH=

1

2

mv2
因為小球在水平面上所受阻力為其重力的

1

5

，根據牛頓第二定律得：
a=

kmg

m

=2m/s²
vE2-v2=-2aL
小球能在豎直平面內做圓周運動，在圓周最高點必須滿足mg≤m

vE2

R

，
聯立以上幾式并代入數據解得：H≥0.28m
小球恰能沿軌道運動，根據動能定理得：
mg?2R-kmgx=0-

1

2

mvE2
解得：x=5m
（2）若h＜H，小球過E點后做平拋運動，設球經E點時的速度大小為υ_x，則擊中G點時：
豎直方向：R=

1

2

gt2①
水平方向：R=υ_xt…②
由動能定理有：mgh-kmgL=

1

2

mvx2③
由①②③解得h=0.18m
答：（1）若要使小球經E處水平進入圓形軌道且能沿軌道運動，H至少要有0.28m，若小球恰能沿軌道運動，那么小球在水平面DF上能滑行5m；
（2）若小球釋放處離B點的高度h小于（1）中H的最小值，小球可擊中與圓心等高的G點，此h的值為0.18m．

點評：本題是圓周運動結合平拋運動的題型，要知道小球能在豎直平面內做圓周運動，在圓周最高點必須滿足mg≤m

v2

R

，若不滿足，則小球做平拋運動，難度適中．