Question

如圖所示，繃緊的傳送帶與水平面的夾角θ=30°，皮帶在電動機的帶動下，始終保持v₀=2.5m/s的速率運行．將一質量m=1kg的工件（可看為質點）輕輕放在皮帶的底端A點，工件能被傳送到頂端B點，h=2.5m．已知工件與皮帶間的動摩擦因數μ=

3

2

，取g=10m/s²．求：
（1）物體從A運動到B，皮帶對物體所做的功是多少？
（2）工件由A點到B點經過的時間t；
（3）在這段時間內電動機對運輸機所做的功是多少？

Answer 1

分析：（1）分析工件的受力情況，物體受到重力、支持力、和沿斜面向上的摩擦力作用，合力沿斜面向上，物體加速運動，由牛頓第二定律求出加速度．由速度公式求出速度達到與傳送帶相同的時間，從而確定工件加速1s后隨傳送帶做勻速直線運動，皮帶對物體所做的功增加為工件的動能和重力勢能；
（2）物體的運動分成兩段，即先做加速運動，后做勻速運動，工件運動學的規律即可求出總時間；
（3）傳送帶勻速運動，求出位移，即可根據求出摩擦力對傳送帶所做的功；即產生的內能；電動機對運輸機所做的功是內能與物體所做的功的和．

解答：解：（1）對工件受力如圖，據牛頓第二定律得：μmgcosθ-mgsinθ=ma　　　
得a=2.5 m/s²
工件速度由0達到v₀所用的時間t1=

v0

a

=

2.5

2.5

s=1s
在這段時間內的位移s1=

1

2

a

t

2 1

=

1

2

×2.5×1=1.25m
傳送帶底端到頂端的距離L=

h

sin30°

=2h=5.0m．
由L＞s可知工件加速1s后隨傳送帶做勻速直線運動．皮帶對物體所做的功增加為工件的動能和重力勢能，所以皮帶對物體所做的功是為：
W=mgh+

1

2

m

v

2 0

=1×10×2.5J+

1

2

×1×2．52J=28.125J
（2）設工件做勻速運動的時間為t₂，由運動學公式得v₀t₂=L-s₁
代入數據解得：t₂=1.5s
工件運動的總時間為：t=t₁+t₂=2.5s
（3）在第1s內，傳送帶的位移：s₂=v₀t₁=2.5×1m=1m
系統產生的內能：Q=μmgcosθ?（s₂-s₁）=3.125J
在這段時間內電動機對運輸機所做的功：W_總=W+Q=28.125+3.125=31.25J
解得t′=1s
答：（1）物體從A運動到B，皮帶對物體所做的功是28.125J；
（2）工件由A點到B點經過的時間為2.5s；
（3）在這段時間內電動機對運輸機所做的功是31.25J．

點評：本題一方面要分析工件的運動情況，由牛頓第二定律和運動學公式結合求解相對位移，即可求出摩擦產生的熱量，另一方面要分析能量如何轉化，由能量守恒定律求解電動機多消耗的電能．