Question

游樂場的過山車可以底朝上在圓軌道上運行，游客卻不會掉下來。我們可以把它抽象成如圖所示的由曲面軌道和圓軌道平滑連接的模型（不計摩擦和空氣阻力）。若質量為m的小球從曲面軌道上的P點由靜止開始下滑，并且可以順利通過半徑為R的圓軌道的最高點A。已知P點與B點的高度差h=3R，求：

（1）小球通過最低點B時速度有多大？
（2）小球通過B點時受到圓軌道支持力有多大？
（3）若小球在運動中需要考慮摩擦和空氣阻力，當小球從P點由靜止開始下滑，且剛好通過最高點A，則小球從P點運動到A點的過程中克服摩擦和空氣阻力所做的功是多少？

Answer 1

（1）
（2）
（3）

（1）設小球通過B點的速度為v₁，在不考慮摩擦和空氣阻力情況下，由P點運動到B點的過程中只有重力做功，機械能守恒：

解得，小球通過B點的速度:

（2）設小球在B點受到軌道的支持力為F，由牛頓第二定律：

代入數據，解得：       
（3）在考慮摩擦和空氣阻力情況下，當小球剛好通過A點時，
由牛頓第二定律得:

整理得小球剛好通過A點時的速度為：    
設小球從P點運動到A點的過程中，重力做功為W_G，克服阻力做功為，由動能定理：  
有：              
由題意可知：       
聯立解得：