Question

20世紀(jì)50年代，物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)了“電子偶素”．所謂“電子偶素”，實(shí)際上是指由一個(gè)負(fù)電子和一個(gè)正電子繞它們連線的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的相對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)．已知正、負(fù)電子的質(zhì)量均為m_e，帶電荷量均為e，靜電力常量為k，普朗克常量為h．
（1）設(shè)“電子偶素”中正、負(fù)電子繞它們連線的中點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r、運(yùn)動(dòng)速度為v，根據(jù)量子化理論上述物理量滿足關(guān)系式：2mevnrn=

nh

2π

（n=1，2，3，…）．試證明n=1時(shí)，正、負(fù)電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率v1=

πke2

h

（2）已知“電子偶素”的能量為正、負(fù)電子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和系統(tǒng)的電勢(shì)能之和．當(dāng)正、負(fù)電子相距d時(shí)系統(tǒng)的電勢(shì)能為Ep=-k

e2

d

．試求n=1時(shí)，“電子偶素”的能量E₁．

Answer 1

分析：（1）由正負(fù)電子的庫(kù)侖力提供向心力，從而即可證明．
（2）由題意可知，系統(tǒng)的電勢(shì)能，及電子的動(dòng)能，可求得n=1時(shí)，“電子偶素”的能量．

解答：解：（1）設(shè)n=1時(shí)電子運(yùn)轉(zhuǎn)軌道半徑為r₁，
此時(shí)正負(fù)電子間庫(kù)侖力F=k

e2

4 r 2 1

此庫(kù)侖作為向心力F=me

v 2 1

r1

由題中量子化理論可知，n=1時(shí) 2mev1r1=

h

2π

聯(lián)立上式可得v1=

πke2

h

（2）由題意可知，系統(tǒng)的電勢(shì)能EP=-k

e2

2r1

  
每個(gè)電子動(dòng)能EK=

1

2

me

v

2 1

系統(tǒng)的能量E=2E_K+E_P
聯(lián)立可得E1=-

π2mek2e4

h2

答：（1）n=1時(shí)，正、負(fù)電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率v1=

πke2

h

；
（2）n=1時(shí)，“電子偶素”的能量為E1=-

π2mek2e4

h2

．

點(diǎn)評(píng)：考查電子受到的電場(chǎng)力作用為向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，掌握牛頓第二定律的應(yīng)用，知道系統(tǒng)的能量是動(dòng)能與電勢(shì)能之和．