Question

【題目】

雨滴落到地面的速度通常僅為幾米每秒，這與雨滴下落過程中受到空氣阻力有關。雨滴間無相互作用且雨滴質量不變，重力加速度為g。

（1）質量為m的雨滴由靜止開始，下落高度h時速度為u，求這一過程中克服空氣阻力所做的功W。

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（2）將雨滴看作半徑為r的球體，設其豎直落向地面的過程中所受空氣阻力f=kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系數。

a．設雨滴的密度為ρ，推導雨滴下落趨近的最大速度vm與半徑r的關系式；

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b．示意圖中畫出了半徑為r1、r2（r1>r2）的雨滴在空氣中無初速下落的v–t圖線，其中_________對應半徑為r1的雨滴（選填①、②）；若不計空氣阻力，請在圖中畫出雨滴無初速下落的v–t圖線。

（__________）

（3）由于大量氣體分子在各方向運動的幾率相等，其對靜止雨滴的作用力為零。將雨滴簡化為垂直于運動方向面積為S的圓盤，證明：圓盤以速度v下落時受到的空氣阻力f ∝v2（提示：設單位體積內空氣分子數為n，空氣分子質量為m0）。

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Answer 1

【答案】 ① 詳見解析

【解析】

(1)對雨滴由動能定理解得：雨滴下落h的過程中克服阻做的功；

(2) 雨滴的加速度為0時速度最大解答；

(3)由動量定理證明

(1)對雨滴由動能定理得：

解得：；

(2)a.半徑為r的雨滴體積為：，其質量為

當雨滴的重力與阻力相等時速度最大，設最大速度為，則有：

其中

聯立以上各式解得：

由可知，雨滴半徑越大，最大速度越大，所以①對應半徑為的雨滴，

不計空氣阻力，雨滴做自由落體運動，圖線如圖：

；

(3)設在極短時間內，空氣分子與雨滴碰撞，設空氣分子的速率為U，

在內，空氣分子個數為：，其質量為

設向下為正方向，對圓盤下方空氣分子由動量定理有：

對圓盤上方空氣分子由動量定理有：

圓盤受到的空氣阻力為：

聯立解得：。