Question

【題目】如圖，在水平軌道右側固定半徑為R的豎直圓槽形光滑軌道，水平軌道的PQ段鋪設特殊材料，調節其初始長度為l ， 水平軌道左側有一輕質彈簧左端固定，彈簧處于自然伸長狀態。可視為質點的小物塊從軌道右側A點以初速度v0沖上軌道，通過圓形軌道、水平軌道后壓縮彈簧，并被彈簧以原速率彈回。已知R＝0.4 m，l＝2.5 m，v0＝6 m/s，物塊質量m＝1kg，與PQ段間的動摩擦因數μ＝0.4，軌道其它部分摩擦不計。取g＝10 m/s2。求：

（1）物塊經過圓軌道最高點B時對軌道的壓力；
（2）物塊從Q運動到P的時間及彈簧獲得的最大彈性勢能；
（3）物塊仍以v0從右側沖上軌道，調節PQ段的長度l ， 當l長度是多少時，物塊恰能不脫離軌道返回A點繼續向右運動。

Answer 1

【答案】
（1）

物塊沖上圓形軌道最高點B時速度為v0=6m/s，

由機械能守恒得：

物塊到B點，由牛頓運動定律得： 代入數據解得N=40N

由牛頓第三定律，物塊對軌道壓力大小為40N，方向為豎直向上

（2）

物塊在Q點時速度為v0＝6 m/s，在PQ運動時，由牛頓運動定律有：

由運動規律

代入數據解得在PQ段運動時間 t= s

設物塊在P點時速度為v1，有

由能量守恒，物塊壓縮彈簧，動能轉化為彈性勢能，有

代入數據解得Epm = 8J

（3）

物塊以v0沖上軌道直到回到PQ段右側Q點時速度為v2，有

要使物塊恰能不脫離軌道返回A點，則物塊能沿軌道上滑至最高點且在最高點的速度大小為v3，則滿足 且

代入數據解得l＝1 m.

【解析】(1)物塊沖上圓形軌道最高點B時速度為v0=6m/s，
由機械能守恒得：
物塊到B點，由牛頓運動定律得： 代入數據解得N=40N
由牛頓第三定律，物塊對軌道壓力大小為40N，方向為豎直向上 (2)物塊在Q點時速度為v0＝6 m/s，在PQ運動時，由牛頓運動定律有：
由運動規律
代入數據解得在PQ段運動時間 t= s
設物塊在P點時速度為v1 ， 有
由能量守恒，物塊壓縮彈簧，動能轉化為彈性勢能，有
代入數據解得Epm = 8J (3)物塊以v0沖上軌道直到回到PQ段右側Q點時速度為v2 ， 有
要使物塊恰能不脫離軌道返回A點，則物塊能沿軌道上滑至最高點且在最高點的速度大小為v3 ， 則滿足且
代入數據解得l＝1 m.