Question

已知真空中電量為Q的點電荷電場中，若取無窮遠為零電勢點，則離電荷距離為r的某點的電勢表達式為φ=

kQ

r

（k為靜電力常數）．如圖所示，帶正電的甲球固定在足夠大的光滑絕緣水平面上的A點，其帶電量為Q；質量為m、帶正電的乙球在水平面上的B點由靜止釋放，其帶電量為q；A、B兩點間的距離為l₀．釋放后的乙球除受到甲球的靜電力作用外，還受到一個大小為F=

kQq

4l02

、方向指向甲球的恒力作用，兩球均可視為點電荷．求：
（1）乙球在釋放瞬間的加速度大小；
（2）乙球的速度最大時兩個電荷間的距離；
（3）乙球運動的最大速度v_m為多少？
（4）乙球運動過程中，離開甲球的最大距離和最小距離是多少？

Answer 1

分析：（1）乙球釋放瞬間，豎直方向受力平衡，水平方向受到恒力F和靜電力，根據牛頓第二定律和庫侖定律求解加速度．
（2）乙球向左先做加速運動，后做減速運動，當合力為零時，速度最大．由F等于庫侖力，求出兩個電荷間的距離；
（3）電場力做正功，等于電勢能的減少：W_E=-△ε=-(K

qQ

2l0

-K

qQ

l   0

)=k

qQ

2l0

．外力做負功：W_F=-K

qQ

4 l 2 0

l0=-K

Qq

4l0

．根據動能定理求解乙球的最大速度．
（3）乙球達到速度最大后，再向左做減速運動，當速度等于零時，離甲球最遠．v=0此時離開甲球距離為r_m，然后又向右運動到r=l₀時速度又等于零．所以離開A球最近的距離為 l₀根據動能定理求解最遠距離．

解答：解：（1）乙球受到電場力和F的作用，根據牛頓第二定律得
   K

qQ

l 2 0

-F=ma
由題意，F=

kQq

4l02

解得，a=

3kqQ

4m l 2 0

（2）乙球的合外力先向左，所以乙球向左做加速度減小的加速運動，當合力為零時，速度最大，則有
  K

qQ

r2

-K

qQ

4 l 2 0

=0
解得 r=2l₀   
（3）乙球的電勢能：ε=q?=

kqQ

r

，電場力做正功，等于電勢能的減少：
  W_E=-△ε=-(K

qQ

2l0

-K

qQ

l   0

)=k

qQ

2l0

外力做負功：W_F=-K

qQ

4 l 2 0

l0=-K

Qq

4l0

由動能定理：W_E+W_F=

1

2

m

V

2 m

-0
得：

V

m

=

kqQ 2ml0

（4）乙球達到速度最大后，再向左做加速度增大的減速運動，當速度等于零時，離甲球最遠．V=0此時離開甲球距離為r_m，然后又向右運動，根據對稱性可知，當r=l₀時速度又等于零．所以離開A球最近的距離為l₀．
 根據動能定理得  W_E+W_F=0

kqQ

rm

-

KqQ

l0

=-k

qQ

4 l 2 0

(rm-l0)
解得，r_m=4l₀      
答：
（1）乙球在釋放瞬間的加速度大小是

3kqQ

4m l 2 0

；
（2）乙球的速度最大時兩個電荷間的距離是2l₀；
（3）乙球運動的最大速度v_m為

kqQ 2ml0

．
（4）乙球運動過程中，離開甲球的最大距離4l₀，最小距離是l₀．

點評：本題是信息題，電勢的表達式是書本上沒有的信息，解題時要加以運用，來分析電勢能變化，確定電場力做功．