Question

如圖所示是一個(gè)設(shè)計(jì)“過(guò)山車”的試驗(yàn)裝置的原理示意圖，光滑斜面AB與豎直面內(nèi)的圓形軌道在B點(diǎn)平滑連接，圓形軌道半徑為R．一個(gè)質(zhì)量為m的小車（可視為質(zhì)點(diǎn)）在A點(diǎn)由靜止釋放沿斜面滑下，當(dāng)它第一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)進(jìn)入圓形軌道時(shí)對(duì)軌道的壓力為其重力的7倍，小車恰能完成圓周運(yùn)動(dòng)并第二次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)沿水平軌道向右運(yùn)動(dòng)．已知重力加速度為g．
（1）求A點(diǎn)距水平面的高度h；
（2）假設(shè)小車在豎直圓軌道左、右半圓軌道部分克服摩擦阻力做的功相等，求小車第二次經(jīng)過(guò)豎直圓軌道最低點(diǎn)時(shí)的速度大小．

Answer 1

（1）設(shè)第一次小車運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度大小為v_B，受到的支持力為N，根據(jù)牛頓第二定律：
N-mg=m

vB2

R

依題意和牛頓第三定律：
N=7mg
解得v_B=

6Rg

小車從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程機(jī)械能守恒，以B點(diǎn)位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有：
mgh=

1

2

mvB2
解得h=3R
（2）設(shè)小車在圓軌道最高點(diǎn)的速度為v_C，重力提供向心力，此時(shí)根據(jù)向心力公式有：
mg=m

vC2

R

解得：v_c=

Rg

設(shè)小車在右半圓軌道上克服阻力做功W_f，對(duì)小車從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C的點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理有
-mg2R-W_f=

1

2

mvC2-

1

2

mvB2
解得W_f=

1

2

mgR
設(shè)小車第二次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度為v′，對(duì)小車從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)再回到B點(diǎn)的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理有：
-2W_f=

1

2

mv′2-

1

2

mvB2
解得v′=2

Rg

答：（1）A點(diǎn)距水平面的高度h為3R；
（2）小車第二次經(jīng)過(guò)豎直圓軌道最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為2

Rg

．