Question

（2010?浙江模擬）從地面豎直上拋一物體，上拋初速度v₀=20m/s，物體上升的最大高度H=16m，設物體在整個運動過程中所受的空氣阻力大小不變，以地面為重力勢能零點，g取10m/s²，問物體在整個運動過程中離地面多高處其動能與重力勢能相等？（保留2位有效數字）
某同學的解答如下：
設物體上升至h高處動能與重力勢能相等

1

2

mv²=mgh  ①
上升至h處由動能定理-mgh-F_fh=

1

2

mv²-

1

2

mv₀² ②
上升至最高點H處由動能定理-mgh-F_fh=0-

1

2

mv₀² ③
聯立以上三式，并代入數據解得h=8.9m處動能與重力勢能相等．
經檢查，計算無誤．該同學所得結論是否有不完善之處？若有請予以補充．

Answer 1

分析：豎直上拋一物體，所受阻力大小不變，則物體在上升時阻力與重力同向，下降時阻力與重力反向，重力先做負功后做正功，而阻力始終做負功．故物體上升和下降的過程不是對稱的過程．故物體在上升時有重力勢能與動能相等的位置，物體在下降時亦有重力勢能與動能相等的位置，而題中同學的解法只考慮到上升過程中的位置沒有考慮到下降過程中兩者相等的位置．

解答：解：該同學所得結論有不完善之處，只計算了上升過程中動能與重力勢能相等處，而未考慮下降過程中動能與重力勢能相等處．  
設從最高點下落至離地h′高處時動能與勢能也相等，此時物體速度為v′．
下落過程據動能定理(mg-Ff)(H-h′)=

1

2

mv′2       ④
且

1

2

mv′2=mgh′                    ⑤
由③④⑤式解得h′=

4gH- v 2 0

6gH- v 2 0

H
代入數據解得h′=6.9m
答：物體在上升和下降過程中分別有重力勢能與動能相等的位置．

點評：動能和重力勢能相等的位置，抓住阻力始終做負功，而重力在上升階段做負功，下降階段做正功．這是解決問題的關鍵．