Question

如圖所示，有一傾角θ=37°的足夠長粗糙斜面，底端與一個光滑的

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圓弧平滑連接，圓弧底端切線水平．一個質量為m=1kg的滑塊（可視為質點）從斜面上某點A（圖中未畫出）由靜止開始滑下，經過斜面底端B點后恰好到達圓弧最高點C，又從圓弧滑回，恰好能上升到斜面上的D點，再由D點沿斜面下滑至B點后沿圓弧上升，再滑回，這樣往復運動，最后停在B點．已知圓弧半徑R=0.8m，滑塊與斜面間的動摩擦因數為μ=0.5，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，假設滑塊經過斜面與圓弧平滑連接處速率不變．求：
（1）滑塊第1次經過B點時的速度大小及對圓弧軌道的壓力；
（2）圖中BD兩點的距離；
（3）滑塊從開始運動到第5次經過B點的過程中與斜面摩擦而產生的熱量．

Answer 1

（1）滑塊從B到C的過程，機械能守恒mgR=

1

2

m

v

2B

代入數據可得v_B=4m/s
所以在B點，對滑塊有N-mg=m

v 2B

R

代入數據得N=30N
根據牛頓第三定律可得：滑塊對圓弧軌道的壓力為30N，方向豎直向下．
（2）滑塊由B到D，據動能定理得-mglBDsinθ-μmgcosθlBD=0-

1

2

m

v

2B

代入數據計算可得：l_BD=0.8m
（3）滑塊由A到B，據動能定理mglADsinθ-μmgcosθlAD=

1

2

m

v

2B

-0
代入數據計算可得l_AD=4m
滑塊由D到B，動能定理：mgl_DBsinθ-μmgcosθl_BD=

1

2

mv²-0①
設滑塊經B后滑上圓弧，又滑回，再次經B后滑上斜面的最高點為E，則滑塊由B到E，據動能定理得-mgl_BEsinθ-μmgcosθ_BE=0-

1

2

mv²②
由①②可得l_BE=0.16m
所以，從開始到第五次經過B點產生的總熱量為：Q=μmgcosθ（l_AD+2l_BD+2l_BE）=23.68J
答：（1）滑塊第1次經過B點時的速度大小及對圓弧軌道的壓力30N；
（2）圖中BD兩點的距離0.8m；
（3）滑塊從開始運動到第5次經過B點的過程中與斜面摩擦而產生的熱量23.68J．