Question

【題目】如圖所示，在光滑的水平地面上的左端連接一光滑的半徑為R的圓形固定軌道，并且水平面與圓形軌道相切，在水平面內有一質量M=3m的小球Q連接著輕質彈簧，處于靜止狀態，現有一質量為m的小球P從B點正上方h=R高處由靜止釋放，小球P和小球Q大小相同，均可視為質點，重力加速度為g。

（1）求小球P到達圓心軌道最低點C時的速度大小和對軌道的壓力；

（2）求在小球P壓縮彈簧的過程中，彈簧具有的最大彈性勢能；

（3）若小球P從B點上方高H處釋放，恰好使P球經彈簧反彈后能夠回到B點，求高度H的大小。

Answer 1

【答案】（1）5mg （2） （3）3R

【解析】（1）小球P從A運動到C的過程，根據機械能守恒得：mg（h+R）=mvC2
又 h=2R，
解得：vC=

在最低點C處，根據牛頓第二定律得：FN-mg=m
解得：FN=7mg，
根據牛頓第三定律可知，小球P對軌道的壓力大小為7mg，方向豎直向下．
（2）彈簧被壓縮過程中，當兩球速度相等時，彈簧具有最大彈性勢能，以向右為正，根據系統動量守恒得：mvC=（m+M）v，
根據機械能守恒定律得：mvC2=EPm+（m+M）v2．
聯立解得：EPm=mgR
（3）設小球P從B上方高H處釋放，到達水平面速度為v0，由機械能守恒定律得：
mg（H+R）=mv02．
彈簧被壓縮后再次恢復到原長時，設小球P和Q的速度大小分別為v1和v2，根據動量守恒定律有：mv0=-mv1+Mv2
根據機械能守恒定律有：mv02=mv12+Mv22
要使P球經彈簧反彈后恰好回到B點，則有：
mgR=mv12．
聯立解得：H=3R