Question

（2013?商丘三模）如圖所示，一個n=10匝，面積為S=0.3m²的圓形金屬線圈，其總電阻為R₁=2Ω，與R₂=4Ω的電阻連接成閉合電路．線圈內存在方向垂直于紙面向里，磁感應強度按B₁=2t+3 （T）規律變化的磁場．電阻R₂兩端通過金屬導線分別與電容器C的兩極相連．電容器C緊靠著帶小孔a（只能容一個粒子通過）的固定絕緣彈性圓筒．圓筒內壁光滑，筒內有垂直水平面豎直向下的勻強磁場B₂，O是圓筒的圓心，圓筒的內半徑為r=0.4m．
（1）金屬線圈的感應電動勢E和電容器C兩板間的電壓U；
（2）在電容器C內緊靠極板且正對a孔的D處有一個帶正電的粒子從靜止開始經電容器C加速后從a孔垂直磁場B₂并正對著圓心O進入筒中，該帶電粒子與圓筒壁碰撞四次后恰好又從小孔a射出圓筒．已知粒子的比荷q/m=5×10⁷（C/kg），該帶電粒子每次與筒壁發生碰撞時電量和能量都不損失，不計粒子重力和空氣阻力，則磁感應強度B₂ 多大（結果允許含有三角函數式）．

Answer 1

分析：（1）根據法拉第電磁感應定律，結合磁感應強度的變化率求出感應電動勢的大小．結合閉合電路歐姆定律求出電容器C兩板間的電壓．
（2）根據動能定理求出粒子進入磁場的速度，結合幾何關系求出粒子在磁場中運動的半徑與r的關系，結合洛倫茲力提供向心力求出磁感應強度的大小．

解答：解：（1）線圈中產生的感應電動勢為：E=n

△φ

△t

=n

△B

△t

S=100×2×0.03V=6V  
電容器C兩板間電壓為：U=R2

E

R1+R2

=4V         
（2）據動能定理有：qU=

1

2

mV2．
帶電粒子在磁場中作勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，有：qVB2=m

V2

R

．
由于帶電粒子與圓筒壁碰撞時無電量和能量損失，那么每次碰撞前后粒子速度大小不變、速度方向總是沿著圓筒半徑方向，4個碰撞點與小孔a恰好將圓筒壁五等分，粒子在圓筒內的軌跡具有對稱性，由5段相同的圓弧組成，設每段軌跡圓弧對應的圓心角為θ，則由幾何關系可得：

r

R

=tan(

θ

2

)．
有兩種情形符合題意（如圖所示）：

（ⅰ）情形1：每段軌跡圓弧對應的圓心角為：θ=π-

2π

5

=

3π

5

．
得：B2=tan

3π

10

×10-3T
（ⅱ）情形2：每段軌跡圓弧對應的圓心角為：θ′=π-

4π

5

=

π

5

．
將數據代式得：B2=tan(

π

10

)×10-3 (T)．
答：（1）金屬線圈的感應電動勢為6V，電容器C兩板間的電壓為4V．
（2）磁感應強度B2=tan

3π

10

×10-3T或B2=tan(

π

10

)×10-3 (T)．

點評：本題考查了電磁感應與電路的綜合，以及帶電粒子在磁場中運動．對于粒子在磁場中運動，關鍵確定圓心，根據幾何關系確定圓周運動的半徑．