Question

1879年美國物理學家霍爾在研究載流導體在磁場中受力情況時，發現了一種新的電磁效應：將導體置于磁場中，并沿垂直磁場方向通入電流，則在導體中垂直于電流和磁場的方向會產生一個橫向電勢差，這種現象后來被稱為霍爾效應，這個橫向的電勢差稱為霍爾電勢差．
（1）如圖甲所示，某長方體導體abcda′b′c′d′的高度為h、寬度為l，其中的載流子為自由電子，其電荷量為e，處在與ab b′a′面垂直的勻強磁場中，磁感應強度為B₀．在導體中通有垂直于bcc′b′面的電流，若測得通過導體的恒定電流為I，橫向霍爾電勢差為U_H，求此導體中單位體積內自由電子的個數．
（2）對于某種確定的導體材料，其單位體積內的載流子數目n和載流子所帶電荷量q均為定值，人們將H=

1

nq

定義為該導體材料的霍爾系數．利用霍爾系數H已知的材料可以制成測量磁感應強度的探頭，有些探頭的體積很小，其正對橫截面（相當于圖14甲中的ab b′a′面）的面積可以在0.1cm²以下，因此可以用來較精確的測量空間某一位置的磁感應強度．如圖乙所示為一種利用霍爾效應測磁感應強度的儀器，其中的探頭裝在探桿的前端，且使探頭的正對橫截面與探桿垂直．這種儀器既可以控制通過探頭的恒定電流的大小I，又可以監測出探頭所產生的霍爾電勢差U_H，并自動計算出探頭所測位置磁場的磁感應強度的大小，且顯示在儀器的顯示窗內．
①在利用上述儀器測量磁感應強度的過程中，對探桿的放置方位有何要求；
②要計算出所測位置磁場的磁感應強度，除了要知道H、I、U_H外，還需要知道哪個物理量，并用字母表示．推導出用上述這些物理量表示所測位置磁感應強度大小的表達式．

Answer 1

分析：（1）根據電流的微觀表達式I=nevS，結合穩定時電子所受的電場力和洛倫茲力平衡求出導體中單位體積內自由電子的個數．
（2）使探桿與磁場方向平行；探頭的正對橫截面與磁場方向垂直，此時形成的霍爾電勢差最大．根據電流的微觀表達式，抓住電子所受電場力和洛倫茲力平衡，結合霍爾系數求出磁感應強度的表達式，通過表達式得出需要測量的物理量．

解答：解：（1）設單位體積內的自由電子數為n，自由電子定向移動的速率為v，
則有    I=nehlv
當形成恒定電流時，自由電子所受電場力與洛侖茲力相等，因此有
evB₀=e

UH

h

解得n=

B0I

eUHl

．
（2）①應調整探桿的放置方位（或調整探頭的方位），使霍爾電勢差達到最大（或使探桿與磁場方向平行；探頭的正對橫截面與磁場方向垂直；ab b′a′面與磁場方 向垂直）
②設探頭中的載流子所帶電荷量為q，根據上述分析可知，探頭處于磁感應強度為B的磁場中，當通有恒定電流I，產生最大穩定霍爾電壓U_H時，有  qvB=q

UH

h

又因  I=nqhlv和H=

1

nq

聯立可解得  B=

UHl

HI

所以，還需要知道探頭沿磁場方向的寬度l．
答：（1）導體中單位體積內自由電子的個數為

B0I

eUHl

．
（2）①應調整探桿的放置方位（或調整探頭的方位），使霍爾電勢差達到最大（或使探桿與磁場方向平行；探頭的正對橫截面與磁場方向垂直；ab b′a′面與磁場方 向垂直）．
②還需要知道探頭沿磁場方向的寬度l．

點評：解決本題的關鍵掌握電流的微觀表達式，以及知道穩定時電子所受的電場力和洛倫茲力平衡．