Question

如圖7-7-16所示，光滑圓管軌道ABC，其中AB部分平直，BC部分是處于豎直平面的、半徑為R的半圓.圓管截面的半徑r<<R.有一質量為m、半徑比r略小的光滑小球以水平初速度v₀從A點射入圓管.問：

圖7-7-16
(1)若要小球能從C端出來，初速度v₀需多大？
(2)在小球從C端出來的瞬間，對管壁作用力有哪幾種典型情況？初速度v₀各應滿足什么條件？

Answer 1

(1)v₀>
(2)當v₀=時，小球與細管無相互作用力;
當v₀>時,小球對細管上側壁有豎直向上的彈力;
當<v₀<時，小球對下側壁有豎直向下的壓力

小球在細圓管內的運動過程中，因管道光滑，不受摩擦力作用，所受軌道的彈力與運動方向垂直，不做功，只有重力做功，故機械能守恒.
(1)要使小球能從C端出來，則小球到達C點時速度v_c應不為零.對小球從A至C運動過程應用機械能守恒定律得
mv_c²+mg·2R=mv₀²           ①
因v_C≠0，有mg·2R<mv₀²
故初速度須滿足v₀>       ②
(2)小球經過C點受重力mg和細圓管的彈力F_N，根據牛頓第二定律得
F_N+mg=                  ③
由①③式得F_N=-5mg       ④
討論④式可得：
a.若F_N=0，則v₀=,這時小球與細管無相互作用力；
b.若F_N>0,則v₀>，即當初速度v₀>時，小球受細管上側壁的豎直向下的彈力(壓力)，由牛頓第三定律知，小球對細管上側壁有豎直向上的彈力；
c.F_N<0(即小球要受到下側壁豎直向上的支持力)，則結合②式需滿足<v₀<，這時小球對下側壁有豎直向下的壓力.