Question

如圖所示,豎直平面內有一半徑為r、內阻為R₁、粗細均勻的光滑半圓形金屬環,在M、N處與相距為2r、電阻不計的平行光滑金屬軌道ME、NF相接,EF之間接有電阻R₂,已知R₁=12R,R₂=4R.在MN上方及CD下方有水平方向的勻強磁場Ⅰ和Ⅱ,磁感應強度大小均為B現有質量為m、電阻不計的導體棒ab,從半圓環的最高點A處由靜止下落,在下落過程中導體棒始終保持水平,與半圓形金屬環及軌道接觸良好,兩平行軌道足夠長.已知導體棒ab下落r/2時的速度大小為v₁,下落到MN處的速度大小為v₂.

(1)求導體棒ab從A下落r/2時的加速度大小.

(2)若導體棒ab進入磁場Ⅱ后棒中電流大小始終不變,求磁場Ⅰ和Ⅱ之間的距離h和R₂上的電功率P₂.

(3)若將磁場Ⅱ的CD邊界略微下移,導體棒ab剛進入磁場Ⅱ時速度大小為v₃,要使其在外力F作用下做勻加速直線運動,加速度大小為a,求所加外力F隨時間變化的關系式.

Answer 1

解析：(1)g-  (2)

(3)F=+ma-mg

解：(1)以導體棒為研究對象,棒在磁場Ⅰ中切割磁感線,棒中產生感應電動勢,導體棒ab從A下落r/2時,導體棒在重力與安培力作用下做加速運動,由牛頓第二定律,得

mg-BIl=ma,式中l=r

I=式中R_總==4R

由以上各式可得到a=g.

(2)當導體棒ab通過磁場Ⅱ時,若安培力恰好等于重力,棒中電流大小始終不變,即

mg=BI×2r=B×

式中R_并==3R

解得v_t=

導體棒從MN到CD做加速度為g的勻加速直線運動,有

v_t²-v₂²=2gh

得h=

此時導體棒重力的功率為

P_G=mgv_t=

根據能量守恒定律,此時導體棒重力的功率全部轉化為電路中的電功率,即

P_電=P₁+P₂=P_G=

又由U₁=U₂,R₁=3R₂可知P₂=3P₁,

所以P₂=P_G=.

(3)設導體棒ab進入磁場Ⅱ后經過時間t的速度大小為v_t′,此時安培力大小為

F′=

由于導體棒ab做勻加速直線運動,有v_t′=v₃₊at

根據牛頓第二定律,有

F+mg-F′=ma

即F+mg-=ma

由以上各式解得F=(at+v₃)-m(g-a)=t++ma-mg.