Question

（2006?佛山模擬）理論證明，取離星球中心無窮遠處為引力勢能的零勢點時，以物體在距離星球中心為r處的引力勢能可表示為：E_p=-G

Mm

r

．G為萬有引力常數，M、m表示星球與物體的質量，而萬有引力做的功則為引力勢能的減少．已知月球質量為M、半徑為R，探月飛船的總質量為m．月球表面的重力加速度為g，萬有引力常數G．
（1）求飛船在距月球表面H（H＞

R

3

）高的環月軌道運行時的速度v；
（2）設將飛船從月球表面發送到上述環月軌道的能量至少為E．有同學提出了一種計算此能量E的方法：根據E=

1

2

mv2+mgH，將（1）中的v代入即可．請判斷此方法是否正確，并說明理由．如不正確，請給出正確的解法與結果（不計飛船質量的變化及其他天體的引力和月球的自轉）．

Answer 1

分析：（1）探月飛船作圓周運動所需的向心力由月球對探月飛船的萬有引力提供，根據牛頓第二定律列式求解；
（2）將飛船從月球表面發送到上述環月軌道的能量等于動能和勢能的增加量，勢能增加量根據公式E_p=-G

Mm

r

求解．

解答：解：（1）探月飛船作圓周運動所需的向心力由月球對探月飛船的萬有引力提供
所以：G

Mm

(R+H)2

=m

v2

R+H

解得v=

GM R+H

（2）因探月飛船從月球表面發送到H高處的過程中月球的引力為變力，故克服引力所做的功不等于mgH，所以該同學的方法不正確；
由引力勢能定義可知探月飛船從月球表面發送到H處引力勢能的改變量△EP=(-G

Mm

R+H

)-(-G

Mm

R

)=GMm

H

R(R+H)

由能量守恒定律可知，將探月飛船從月球表面發送到H處所需的能量為：E=

1

2

mv2+△Ep=

1

2

m

GM

R+H

+

GMmH

R(R+H)

=

GMm(R+2H)

2R(R+H)

答：（1）飛船在距月球表面H（H＞

R

3

）高的環月軌道運行時的速度v為

GM R+H

；
（2）將飛船從月球表面發送到上述環月軌道的能量至少為

GMm(R+2H)

2R(R+H)

．

點評：本題關鍵是明確衛星的向心力來源、勢能的表達式、動能的表達式，然后根據牛頓第二定律和機械能守恒定律列式求解．