Question

【題目】為了研究過山車的原理，某興趣小組提出了下列設想：取一個與水平方向夾角為37°、長為l＝2.0m的粗糙傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與半徑為R＝0.2m的豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個軌道除 AB 段以外都是光滑的．其中AB 與BC 軌道以微小圓弧相接，如圖所示．一個質量m＝1 kg小物塊以初速度v0＝5.0 m/s從A點沿傾斜軌道滑下，小物塊到達C點時速度vC＝4.0 m/s.取g＝10 m/s2，sin37°＝0.60，cos37°＝0.80.

(1) 求小物塊到達C點時對圓軌道壓力的大小；

(2) 求小物塊從A到B運動過程中摩擦力所做的功；

(3) 為了使小物塊不離開軌道，并從軌道DE滑出，求豎直圓弧軌道的半徑應滿足什么條件？

Answer 1

【答案】(1)90N；(2)-16.5J；(3)≤0.32m

【解析】試題分析：（1）小物塊做圓周運動，根據牛頓第二定律可求得支持力大小，再由牛頓第三定律可求得小物塊對軌道的壓力大小；

（2）對AC過程由動能定理可求得摩擦力所做的功；

（3）根據臨界條件以及牛頓第二定律可求得速度范圍；再由機械能守恒定律可求得半徑的范圍．

解：（1）設小物塊到達C點時受到圓軌道的支持力大小為N，根據牛頓第二定律有，

解得：N=90N

根據牛頓第三定律得，小物塊對圓軌道壓力的大小為90N

（2）物塊從A到C的過程中，根據動能定理有：

mglsin37°+Wf=mvc2﹣mvA2

解得Wf=﹣16.5J

（3）設物塊進入圓軌道到達最高點時速度大小為v1，根據牛頓第二定律有：，

則

物塊從圓軌道最低點到最高點的過程中，根據機械能守恒定律有：

mvc2=mv2+2mgR

聯立得，

解得R≤0.32m

答：（1）小物塊到達C點時對圓軌道壓力的大小為90N；

（2）小物塊從A到B運動過程中摩擦力所做的功為﹣16.5J；

（3）為了使小物塊不離開軌道，并從軌道DE滑出，求豎直圓弧軌道的半徑應滿足R≤0.32m．