Question

（11分）如圖所示，某貨場需將質量m₁＝100 kg的貨物(可視為質點)從高處運送至地面，為避免貨物與地面發生撞擊，現利用固定于地面的光滑四分之一圓軌道，使貨物由軌道頂端無初速度滑下，軌道半徑R＝1.8 m．地面上緊靠軌道依次排放兩塊完全相同的木板A、B，長度均為l＝2 m，質量均為m₂＝100 kg，木板上表面與軌道末端相切．貨物與木板間的動摩擦因數為μ₁，木板與地面間的動摩擦因數μ₂＝0.2．(最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，取g＝10 m/s²)

(1)求貨物到達圓軌道末端時對軌道的壓力大小和方向。

(2)若貨物滑上木板A時，木板不動，而滑上木板B時，木板B開始滑動，求μ₁應滿足的條件．

(3)若μ₁＝0.5，求貨物滑到木板A末端時的速度和在木板A上運動的時間．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

(1)3000 N，方向豎直向下　(2)0.4＜μ₁≤0.6     (3)0.4 s

解析:(1)設貨物滑到圓軌道末端時的速度為v₀，

對貨物的下滑過程中根據機械能守恒定律得：mgR＝m₁v

設貨物在軌道末端所受支持力的大小為F_N，根據牛頓第二定律得，F_N－m₁g＝m₁

聯立以上兩式并代入數據得F_N＝3000N

根據牛頓第三定律，貨物到達圓軌道末端時對軌道的壓力大小為3000 N，方向豎直向下．

(2)若滑上木板A時，木板不動，由受力分析得：   μ₁m₁g≤μ₂(m₁＋2m₂)g

若滑上木板B時，木板B開始滑動，由受力分析得：μ₁m₁g＞μ₂(m₁＋m₂)g

聯立并代入數據得0.4＜μ₁≤0.6．

(3)μ₁＝0.5，由上問可得，貨物在木板A上滑動時，木板不動，設貨物在木板A上做減速運動時的加速度大小為a₁，由牛頓第二定律得μ₁m₁g＝m₁a₁

設貨物滑到木板A末端時的速度為v₁，由運動學公式得： v－v＝－2a₁l

聯立并代入數據得v₁＝4m/s

設在木板A上運動的時間為t，由運動學公式得： v₁＝v₀－a₁t

聯立并代入數據得t＝0.4 s．