Question

【題目】如圖所示，光滑、足夠長、不計電阻、軌道間距為l的平行金屬導軌MN、PQ，水平放在豎直向下的磁感應強度不同的兩個相鄰的勻強磁場中，左半部分為Ι勻強磁場區，磁感應強度為B1；右半部分為Ⅱ勻強磁場區，磁感應強度為B2，且B1=2B2。在Ι勻強磁場區的左邊界垂直于導軌放置一質量為m、電阻為R1的金屬棒a，在Ι勻強磁場區的某一位置，垂直于導軌放置另一質量也為m、電阻為R2的金屬棒b。開始時b靜止，給a一個向右沖量I后a、b開始運動。設運動過程中，兩金屬棒總是與導軌垂直。

（1）求金屬棒a受到沖量后的瞬間通過金屬導軌的感應電流；

（2）設金屬棒b在運動到Ι勻強磁場區的右邊界前已經達到最大速度，求金屬棒b在Ι勻強磁場區中的最大速度值；

（3）金屬棒b進入Ⅱ勻強磁場區后，金屬棒b再次達到勻速運動狀態，設這時金屬棒a仍然在Ι勻強磁場區中。求金屬棒b進入Ⅱ勻強磁場區后的運動過程中金屬棒a、b中產生的總焦耳熱。

Answer 1

【答案】（1）i=；（2）vm=；（3）Q=

【解析】

（1）導體棒瞬間得到一個初速度，回路中產生感應電流，由閉合電路歐姆定律求解電流大小
（2）選ab兩棒組成的系統為研究對象，可得水平方向動量守恒，可解b棒的最大速度值
（3）金屬棒b進入Ⅱ勻強磁場區后，穿過回路的磁通量減小，回路中產生感應電流，兩棒均受安培力作用，使a減速，b加速，最終兩棒產生的感應電動勢相等時，兩棒改作勻速直線運動，此過程中產生的焦耳熱等于兩棒動能的減少量

（1）設金屬棒a受到沖量I時的速度為v0，金屬棒a產生的感應電動勢為E，金屬軌道中的電流為i，則
由動量定理得：I=mv0
由法拉第電磁感應定律得：E=B1lv0
i=
即：
（2）金屬棒a和金屬棒b在左部分磁場中運動過程中所受安培力大小相等、方向相反，合力為零，故a、b組成的系統，水平方向動量守恒．
金屬棒a和金屬棒b在Ι勻強磁場區中運動過程中達到的最大速度vm時，二金屬棒速度相等，感應電流為零，二金屬棒勻速運動，根據動量守恒定律有
mv0=2mvm
vm=
（3）金屬棒b進入Ⅱ勻強磁場時，設金屬棒a的感應電動勢為E1，金屬棒b的感應電動勢為E2，
E1=B1lvm
E2=B2lvm
因為B1=2B2
所以E1=2E2
所以，金屬棒b一進入Ⅱ勻強磁場，電流立即出現，在安培力作用下金屬棒a做減速運動，金屬棒b做加速運動．設金屬棒a在Ι勻強磁場區運動速度從vm變化到最小速度va，所用時間為t，金屬棒b在Ⅱ勻強磁場區運動速度從vm變化到最大速度為vb，所用時間也為t，此后金屬棒a、b都勻速運動，則
B1lva=B2lvb
即vb=2va
設在t時間內通過金屬棒a、b的電流平均值為，根據動量定理有：
B1lt=mva-mvm方向向左
B2lt=mvb-mvm方向向右
解得：va＝vm vb＝vm
設金屬棒b進入Ⅱ勻強磁場后，金屬棒a、b產生的總焦耳熱為Q，根據能量守恒，有：

整理得：Q=