Question

【題目】如圖所示，AB為固定在豎直面內、半徑為R的四分之一圓弧形光滑軌道，其末端（B端）切線水平，且距水平地面的高度也為R; 1、2兩小滑塊（均可視為質點）用輕細繩拴接在一起，在它們中間夾住一個被壓縮的微小輕質彈簧．兩滑塊從圓弧形軌道的最高點A由靜止滑下，當兩滑塊滑至圓弧形軌道最低點時，拴接兩滑塊的細繩突然斷開，彈簧迅速將兩滑塊彈開，滑塊2恰好能沿圓弧形軌道運動到軌道的最高點A．已知R=0．45m，滑塊1的質量m1=0．16kg，滑塊2的質量m2=0．04kg，重力加速度g取10m/s2，空氣阻力可忽略不計．求：

（1）兩滑塊一起運動到圓弧形軌道最低點細繩斷開前瞬間對軌道的壓力的大小；

（2）在將兩滑塊彈開的整個過程中彈簧釋放的彈性勢能；

（3）滑塊2的落地點與滑塊1的落地點之間的距離；

Answer 1

【答案】（1）6．0N（2）0．90J（3）0．45m

【解析】

試題分析：（1）設兩滑塊一起滑至軌道最低點時的速度為v，所受軌道的支持力為N。對兩滑塊一起沿圓弧形軌道下滑到B端的過程，根據機械能守恒定律有（m1+ m2）gR=（m1+ m2）v2，

解得v=3．0m/s

對于兩滑塊在軌道最低點，根據牛頓第二定律有:N-（m1+ m2）g=（m1+ m2）

解得N=3（m1+ m2）g=6．0N

根據牛頓第三定律可知，兩滑塊對軌道的壓力大小N′=N=6．0N

（2）設彈簧迅速將兩滑塊彈開時，兩滑塊的速度大小分別為v1和v2，因滑塊2恰好能沿圓弧形軌道運動到軌道最高點A，此過程中機械能守恒，所以對滑塊2有

m2gR=m2v22

解得v2=3．0m/s，方向向左

對于彈簧將兩滑塊彈開的過程，設水平向右為正方向，根據動量守恒定律有

（m1+ m2）v=m1v1-m2v2 解得v1=4．5m/s

對于彈簧將兩滑塊彈開的過程，根據機械能守恒定律有E彈= m1v12+ m2v22-（m1+m2）v2

解得E彈=0．90J

（3）設兩滑塊平拋運動的時間為t，根據h=gt2，

解得兩滑塊做平拋運動的時間t==0．30s

滑塊1平拋的水平位移x1=v1t=1．35m

滑塊2從B點上滑到A點，再從A點返回到B點的過程，機械能守恒，因此其平拋的速度大小仍為v2，所以其平拋的水平位移x2=v2t=0．90m

所以滑塊2的落地點與滑塊1的落地點之間的距離Δx=x1-x2=0．45m