Question

【題目】如圖甲所示，輕質彈簧原長為2L，將彈簧豎直放置在水平地面上，在其頂端將一質量為的物體由靜止釋放，當彈簧被壓縮到最短時，彈簧長度為L。現將該彈簧水平放置，如圖乙所示。一端固定在A點，另一端與物塊P接觸但不連接。AB是長度為5L的水平軌道，B端與半徑為L的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD在豎直方向上。物塊P與AB間的動摩擦因數，用外力推動物塊P，將彈簧壓縮至長度為L處，然后釋放P，P開始沿軌道運動，重力加速度為。

（1）求當彈簧壓縮至長度為L時的彈性勢能；

（2）若P的質量為，求物塊離開圓軌道后落至AB上的位置與B點之間的距離；

（3）為使物塊P滑上圓軌道后又能沿圓軌道滑回，求物塊P的質量取值范圍。

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】（1）由機械能守恒定律可知：彈簧長度為L時的彈性勢能為

（2）設P到達B點時的速度大小為，由能量守恒定律得：

設P到達D點時的速度大小為，由機械能守恒定律得：

物體從D點水平射出，設P落回到軌道AB所需的時間為

（3）設P的質量為M，為使P能滑上圓軌道，它到達B點的速度不能小于零

得

要使P仍能沿圓軌道滑回，P在圓軌道的上升高度不能超過半圓軌道的中點C，得