Question

【題目】有兩個完全相同的小滑塊A和B,A沿光滑水平面以速度v0與靜止在平面邊緣O點的B發生正碰,碰撞中無機械能損失.碰后B運動的軌跡為OD曲線,如圖所示.

（1）已知小滑塊質量為m,碰撞時間為Δt,求碰撞過程中A對B平均沖力的大小；

（2）為了研究物體從光滑拋物線軌道頂端無初速度下滑的運動,特制做一個與B平拋軌跡完全相同的光滑軌道,并將該軌道固定在與OD曲線重合的位置,讓A沿該軌道無初速下滑（經分析,A下滑過程中不會脫離軌道）.

a.分析A沿軌道下滑到任意一點的動量pA與B平拋經過該點的動量pB的大小關系;

b.在OD曲線上有一點M,O和M兩點連線與豎直方向的夾角為45°.求A通過M點時的水平分速度和豎直分速度.

Answer 1

【答案】（1） （2）a. A下滑到任意一點的動量總和是小于B平拋經過該點的動量．b. v0 ，v0

【解析】

（1）AB滑塊在碰撞的過程中動量守恒，根據動量守恒可以求得碰后B的速度的大小，在由動量定理可以求得AB之間的相互的作用力的大小；

（2）a、A滑塊在運動的過程中，只有重力做功，它的機械能守恒，而B做的是平拋運動，B有一個水平方向的初速度，所以在任意的一個位置，B的合速度都要比A的速度大，由此可以分析它們的動量的關系；b、M點在平拋運動的軌跡上，所以M點水平的位移和豎直方向上的位移滿足平拋運動的規律，再根據B滑塊做的是平拋運動，可以求得在M點的水平速度和豎直速度之間的關系．

（1）滑塊A與B正碰，滿足
mvA-mVB=mv0 ①
mvA2+mvB2=mv02②
由①②，解得vA=0，vB=v0，
根據動量定理，滑塊B滿足F△t=mv0
解得．
所以碰撞過程中A對B平均沖力的大小為．
（2）a．設任意點到O點豎直高度差為d．
A、B由O點分別運動至該點過程中，只有重力做功，所以機械能守恒．
選該任意點為勢能零點，有
EA=mgd，EB=mgd+mv02
由于 ，
有 ，
即PA＜PB
所以A下滑到任意一點的動量總和是小于B平拋經過該點的動量．
b．以O為原點，建立直角坐標系xOy，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向下，則對B有
x=v0t，
y=gt2
B的軌跡方程 ，
在M點x=y，所以y= ③
因為A、B的運動軌跡均為OD曲線，故在任意一點，兩者速度方向相同．
設B水平和豎直分速度大小分別為vBx和vBy，速率為vB；
A水平和豎直分速度大小分別為vAx和vAy，速率為vA，則 ，④
B做平拋運動，故vBx=v0，vBy= ，vB= ⑤
對A由機械能守恒得vA=，⑥
由④⑤⑥得，

將③代入得 vAx=v0 ，vAy=v0．
所以A通過M點時的水平分速度為v0 ，豎直分速度的大小為v0．