Question

如圖所示，ABC為一固定在豎直平面內的光滑軌道，BC段水平，AB段與BC段平滑連接．質量為m的小球從高為h處由靜止開始沿軌道下滑，與靜止在軌道BC段上質量為km的小球發生碰撞，碰撞前后兩小球的運動方向處于同一水平線上．
（1）若兩小球碰撞后粘連在一起，求碰后它們的共同速度；
（2）若兩小球在碰撞過程中無機械能損失，
a．為使兩小球能發生第二次碰撞，求k應滿足的條件；
b．為使兩小球僅能發生兩次碰撞，求k應滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）小球下滑過程中機械能守恒，由機械能守恒定律可以求出小球到達水平面的速度；兩球碰撞過程動量守恒，由動守恒定律可以求出兩球的共同速度．
（2）分析出兩球第二次碰撞的條件，應用動量守恒定律與機械能守恒定律分析答題．

解答：解：（1）設質量為m的小球碰撞前的速度為v₀，
由機械能守恒定律得：mgh=

1

2

m

v

2 0

   ①，
設兩小球碰后的共同速度為V，
由動量守恒定律得：mv₀=（m+km）V，②
解得：V=

1

k+1

2gh

；
（2）a．取水平向右方向為正方向，設碰后m與km的速度分別為v₁與V₁，
由動量守恒定律得：mv₀=mv₁+kmV₁ ③，
由機械能守恒定律得：

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

km

V

2 1

   ④，
解得      v1=

1-k

k+1

v0⑤V1=

2

k+1

v0⑥
兩小球若要發生第二次碰撞，需要v₁＜0，-v₁＞V₁ ⑦，
由⑤⑥⑦解得：k＞3；  ⑧
b．對于第二次碰撞，設v₂與V₂分別為m與km碰后的速度，
由動量守恒定律得：m（-v₁）+kmV₁=mv₂+kmV₂ ⑨，
由機械能守恒定律得：

1

2

m

v

2 1

+

1

2

km

V

2 1

=

1

2

m

v

2 2

+

1

2

km

V

2 2

  ⑩，
由⑤⑥⑧⑨解得v2=

4k-(k-1)2

(k+1)2

v0 （11），V2=

4(k-1)

(k+1)2

v0  （12），
只要滿足|v₂|≤V₂，兩球一定不會相碰（13），
由⑧（11）（12）（13）解得3＜k≤5+2

5

；
答：（1）若兩小球碰撞后粘連在一起，求碰后它們的共同速度為

2gh

k+1

；
（2）若兩小球在碰撞過程中無機械能損失，
a．為使兩小球能發生第二次碰撞，k應滿足的條件是k＞3；
b．為使兩小球僅能發生兩次碰撞，k應滿足的條件是3＜k≤5+2

5

．

點評：應用機械能守恒定律、動量守恒定律即可正確解題，本題的難點與解題關鍵是分析出碰撞條件．