Question

【題目】如圖所示，AB和CDO都是處于豎直平面內的光滑圓弧形軌道，OA處于水平位置。AB是半徑為R＝2 m的1/4圓周軌道，CDO是半徑為r＝1 m的半圓軌道，最高點O處固定一個豎直彈性擋板。D為CDO軌道的中央點。BC段是水平粗糙軌道，與圓弧形軌道平滑連接。已知BC段水平軌道長L＝2 m，與小球之間的動摩擦因數μ＝0．4。現讓一個質量為m＝1 kg的小球P從A點的正上方距水平線OA高H處自由下落。（取g＝10 m/s2）

（1）當H＝1．4 m時，問此球第一次到達D點對軌道的壓力大小。

（2）當H＝1．4 m時，試通過計算判斷此球是否會脫離CDO軌道。如果會脫離軌道，求脫離前球在水平軌道經過的路程。如果不會脫離軌道，求靜止前球在水平軌道經過的路程。

（3）為使小球僅僅與彈性板碰撞二次，且小球不會脫離CDO軌道，問H的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1) (2) S=8.5m

【解析】試題分析：（1）設小球第一次到達D的速度VD，P到D點的過程對小球根據動能定理列式，有：

mg（H+r）-μmgL=mVD2

在D點對小球列牛頓第二定律：

聯立解得：FN=32N

（2）第一次來到O點，速度V1，P到O點的過程對小球根據動能定理列式，有：

mgH-μmgL=mV12

解得：V12=12

要能通過O點，須

臨界速度V02=10

故第一次來到O點之前沒有脫離，第二次來到D點是沿著原路返回，設第三次來到D點的動能EK

對之前的過程根據動能定理列式，有：mg（H+r）-3μmgL=EK

代入解得：EK=0

故小球一直沒有脫離CDO軌道

設此球靜止前在水平軌道經過的路程S,對全過程根據動能定理列式，有：mg（H+R）-μmgS=0

解得：S=8．5m

（3）為使小球與擋板碰撞第二次，需滿足：mgH3μmgL≥mv02

代入數據解得：H≥2．9m

為使小球與僅僅擋板碰撞二次，且小球不會脫離CDO軌道，需滿足：

mg（H+r）-5μmgL≤0

代入數據解得：H≤3m

故：2．9m≤H≤3．0m