Question

【題目】如圖所示，在水平面的上方有一固定的水平運輸帶，在運輸帶的左端A處用一小段光滑的圓弧與一光滑的斜面平滑銜接，該運輸帶在電動機的帶動下以恒定的向左的速度v0＝2 m/s運動．將一可以視為質點的質量為m＝2 kg的滑塊由斜面上的O點無初速度釋放，其經A點滑上運輸帶，經過一段時間滑塊從運輸帶最右端的B點離開，落地點為C.已知O點與A點的高度差為H1＝1.65 m，A點與水平面的高度差為H2＝0.8 m，落地點C到B點的水平距離為x＝1.2 m，g取10 m/s2.

(1)求滑塊運動到C點時的速度大小；

(2)如果僅將O點與A點的高度差變為H′1＝0.8 m，且當滑塊剛好運動到A點時，撤走斜面，求滑塊落在水平面上時的速度大小；

(3)在第(2)問情況下滑塊在整個運動過程中因摩擦而產生的熱量有多少？

Answer 1

【答案】(1)5 m/s (2)2 m/s (3)36 J

【解析】（1）設滑塊滑至運輸帶的右端速度為v1，滑塊自運輸帶右端飛出至落地時間為t，則在水平方向上 x=v1t
在豎直方向上 H2=gt2
設滑塊落地時的速度為v，根據機械能守恒定律得
mv22+mgH2=mv2
由①②③解得 v1=3m/s，v=5m/s
（2）設滑塊由H1=1.65m處由靜止開始下滑到運輸帶，在滑到運輸帶右端過程中，摩擦力對滑塊做功大小為Wf，由功能關系得
mgH1=mv12+Wf；
解得 Wf=24J
由于 mgH1′＜Wf，則滑塊由H1′=0.8m處開始下滑到運輸帶，在滑到運輸帶右端前滑塊的速度就應減為零，然后滑塊要向左運動，設滑塊由H1′=0.8m處靜止開始下滑到運輸帶，在到達運輸帶左端的速度為v0′，則mgH1′=mv0′2
解得 v0′=4m/s
因為 v0＜v0′，故滑塊向左運動的過程中，先加速至于運輸帶速度相同，后勻速運動至運輸帶左端作平拋運動，設滑塊從運輸帶左端拋出落地時的速度大小為v2，根據機械能守恒定律得mv02+mgH2=mv22
解得 v2=2 m/s
（3）設滑塊與運輸帶間的動摩擦因數為μ，滑塊由H1′=0.8m處靜止開始下滑到運輸帶，在運輸帶上滑到速度為零的過程中，滑塊運動的時間為t1，滑塊與運輸帶摩擦所產生的熱量為Q1，則有
Q1=μmg（t1+v0t1）
又對滑塊，由動能定理得

設滑塊后來又向運輸帶左端運動的過程中，滑塊加速至v0的時間為t2，滑塊與運輸帶摩擦所產生的熱量為Q2，則
Q2=μmg（v0t2+t2）
對滑塊，由動能定理得

則滑塊自釋放至落地全過程中滑塊與運輸帶摩擦所產生的熱量 Q=Q1+Q2．
解得 Q=36J