Question

【題目】如圖所示，在半徑r=0.5m的圓形區域I內有磁感應強度大小、方向垂直于紙面向外的勻強磁場。區域I的正上方有磁感應強度大小、方向垂直于紙面向內的勻強磁場區域II。區域II水平寬度足夠大、高度為d=0.4m，理想水平下邊界和區域I的理想邊界相切于A點。一足夠大且垂直于紙面的薄熒光平板與區域II的理想上邊界重合。為紙面內過圓心O的水平直線。在圓的右側放置一臺帶電粒子發射器，它向左平行于發射出一束比荷的帶正電的相同粒子，粒子的速度大小均為。發射時，這束粒子沿豎直方向均勻分布在上下兩側高度各為的范圍內。粒子的重力、粒子間的相互作用力均忽略不計。。求：

（1）粒子在磁場區域I中運動的軌道半徑大小。

（2）打到熒光板的粒子占粒子總數的百分比。

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】解：（1）設粒子在磁場區域I中估勻速圓周運動的軌道半徑大小為，因為洛倫茲力提供向心力，故有： ，解得： 。

（2）因為，由幾何關系可知，紙面內這些平行于射入磁場區域I的帶電粒子，都會從最高點A射出區域I，接著射入區域II.

粒子速的最上邊緣處的粒子，在區域I內的運動軌跡如圖1所示。設粒子經過A點的速度方向跟豎直方向的夾角為，過點軌跡半徑跟水平邊界的夾角為，由幾何關系得：

， ，解得： ，

同理可得，粒子束的最下邊緣處的粒子，經過A點的速度方向跟豎直方向的夾角為： ，如圖2所示。

設粒子在磁場區域II中做勻速圓周運動的軌道半徑大小為，因為洛倫茲力提供向心力，故有：

，解得： ，

粒子束上、下邊緣處的粒子進入區域II后，做勻速圓周運動的軌跡如圖3、圖4所示。

設粒子束下邊緣處的粒子最終打在熒光板上的點為C，過C點的軌跡半徑跟水平方向的夾角為，如圖4所示。由幾何關系得： ，解得： ，

即粒子恰好打在A點的正上方。

設粒子的運動軌跡跟熒光板的切點為D，則D就是粒子打到熒光板上最左側的點，如圖5所示。設這些粒子經A點時，速度方向跟豎直方向的夾角為，由幾何關系得：

，解得： ，

這些粒子在區域I中的運動軌跡如圖6所示。設它們從發射器射出的時離的距離為x，由幾何關系得：

，解得： ，

所以，打到熒光板的粒子占粒子總數的百分比為： ，解得： 。