Question

【題目】某種透明材料制成的空心球體內徑為 R，外徑是內徑的 2 倍，其截面（紙面內）如圖所示。一束單色光（紙面內）從外球面上 A 點入射，人射角為 45°時，光束經折射后恰好與內球面 B 點相切。

（1）求該透明材料的折射率；

（2）如果在內表面涂上能完全吸光的物質，當一束平行光射向此球時被內表面吸收掉的光束在射進空心球前的橫截面積是多少？

（3）在第（1）問的條件下，欲使如圖所示的光束能射入空心球內部空心區域，從 A 入射的光線的入射角應滿足什么條件？

Answer 1

【答案】（1）。（2） （3）

【解析】

（1）如圖所示，設光束經折射后到達內球面上 B 點。在 A 點，由題意知，

入射角 i＝45°，折射角 r＝∠BAO

由幾何關系有：=0.5

由折射定律有：

代入數據解得 n＝

（2）

如圖所示，平行光束為半徑為 R 的空心部分被吸收，不被吸收的極限光線是與 a

球相切的光線 AB，由幾何關系有：

Ro=2Rsini

R=2Rsinr

由折射定律有： sini=nsinr

故被吸收掉的光束的橫截面積為：S=2πR2

（3）如圖所示。設在 A 點的入射角為 i′時，光束經折射后到達內球面上 C 點，并在 C 點恰好發生全反射，則光束在內球面上的入射角∠ACD恰好等于臨界角 C。

由 sinC＝得 C＝45°

由正弦定理得……

又 AO＝2CO

由折射定律有……

解得…

因此入射角滿足的光線將射入空心球內部。