Question

如圖所示，半徑為r的圓形導線框內有一勻強磁場，磁場方向垂直于導線框所在平面，導線框的左端通過導線接一對水平放置的平行的金屬板，兩極間的距離為d，板長為L，t=0時，磁場的磁感應強度B從B₀開始均勻增大，同時在板2的左端且非�？拷�板2的位置有一質量為m帶電量為的液滴以初速度v₀水平向右射入兩板間，該液滴可視為質點．
（1）要使該液滴從兩板正中央射出，則射出的液滴的動能多大？
（2）要使該液滴能從兩板間射出，磁感應強度隨時間的變化率k應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）根據粒子出磁場時，速度的反向延長線經過軸線的中點，得出豎直分速度與水平速度的關系，從而求出射出時液滴的動能．
（2）粒子受重力和電場力，要使該液滴能從兩板間射出，臨界情況是：1、勻速直線運動離開平行金屬板，2、從上級板邊緣離開平行金屬板，抓住兩臨界情況，結合法拉第電磁感應定律、牛頓第二定律和運動學公式求出磁感應強度的變化率．

解答：解：（1）粒子出磁場時，速度的反向延長線經過軸線的中點，根據相似三角形得：

vy

v0

=

d 2

L 2

=

d

L

．
解得：vy=v0

d

L

…①
則：E_k=

1

2

mv2=

1

2

m(

v

2 0

+

v

2 y

)…②
解①②得：E_k=

L2+d2

2L2

m

v

2 0

（2）U_C=E=

△Bπr2

△t

=kπr²…③
當k有極小值時：

Uc

d

q-mg=0…④
解③④得：k_min=

mgd

πr2q

當k有極大值時：

Uc

d

q-mg=ma…⑤
t=

L

v0

=

2d a

…⑥
解③⑤⑥得：k_max=

md

πr2q

(g+

2d v 2 0

L2

)
∴

mgd

πr2q

≤k＜

md

πr2q

(g+

2d v 2 0

L2

)
答：（1）要使該液滴從兩板正中央射出，則射出的液滴的動能為

L2+d2

2L2

m

v

2 0

．
（2）磁感應強度隨時間的變化率k應滿足

mgd

πr2q

≤k＜

md

πr2q

(g+

2d v 2 0

L2

)．

點評：解決本題的關鍵抓住臨界情況，結合法拉第電磁感應定律、牛頓第二定律和運動學公式進行分析求解．