Question

【題目】根據玻爾理論，電子繞氫原子核運動可以看作是僅在庫侖引力作用下的勻速圓周運動，已知普朗克常數h，真空中光速為c，電子的電荷量為e，質量為m，電子在第1軌道運動的半徑為r1，靜電力常量為k.

氫原子在不同的能量狀態，對應著電子在不同的軌道上繞核做勻速圓周運動，電子做圓周運動的軌道半徑滿足rn=n2r1，其中n為量子數，即軌道序號，rn為電子處于第n軌道時的軌道半徑。電子在第n軌道運動時氫原子的能量En為電子動能與“電子-原子核”這個系統電勢能的總和。理論證明，系統的電勢能Ep和電子繞氫原子核做圓周運動的半徑r存在關系：Ep=-k（以無窮遠為電勢能零點）。請根據以上條件完成下面的問題。

①試證明電子在第n軌道運動時氫原子的能量En和電子在第1軌道運動時氫原子的能量E1滿足關系式

②假設氫原子甲核外做圓周運動的電子從第2軌道躍遷到第1軌道的過程中所釋放的能量，恰好被量子數n=4的氫原子乙吸收并使其電離，即其核外在第4軌道做圓周運動的電子脫離氫原子核的作用范圍。不考慮電離前后原子核的動能改變，試求氫原子乙電離后電子的動能。

③氫原子光譜中巴耳末系的譜線波長公式為： ，n = 3、4、5…，請根據玻爾理論推導巴耳末公式并確定里德堡常數R的表達式。

Answer 1

【答案】①②③

【解析】①設電子在第n軌道上運動的速度大小為，根據牛頓第二定律有

電子在第n軌道運動的動能

電子在第n軌道運動時氫原子的能量

又因為

則有其中命題得證。

②由①可知，電子從第2軌道躍遷到第1軌道所釋放的能量

電子在第4軌道運動時氫原子的能量

設氫原子電離后電子具有的動能為Ek，根據能量守恒有

解得

③玻爾理論認為巴耳末系為氫原子從n=3、4、5…，等能級向n=2的能級躍遷時發出的光，根據玻爾躍遷假設可知即

所以n=3、4、5…，

對照巴耳末公式可知里德堡常數