Question

【題目】如圖a，旅行車上有一個半徑為R的三腳圓凳(可視為剛性結構)，三個相同凳腳的端點連線(均水平)構成邊長為a的等邊三角形，凳子質心位于其軸上的G點.半徑為r的一圓筒形薄壁茶杯放在凳面上，杯底中心位于凳面中心O點處，茶杯質量為m(遠小于凳子質量)，其中杯底質量為(杯壁和杯底各自的質量分布都是均勻的)，杯高為H(與杯高相比，杯底厚度可忽略).杯中盛有茶水，茶水密度為.重力加速度大小為g.

(1)為了使茶水杯所盛茶水盡可能多并保持足夠穩定，杯中茶水的最佳高度是多少?

(2)現該茶水杯的底面邊緣剛好緩慢滑移到與圓凳的邊緣內切于D點時靜止(凳面邊有小凸緣，可防止物體滑出；凳面和凳面邊的凸緣各自的質量分布都是均勻的)，且OD⊥AC(見圖b)，求此時旅行車內底板對各凳腳的支持力相對于滑移前(該茶水杯位于凳面中心處)的改變.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

(1)以凳面中心O為坐標原點，以過O點向上的豎直線為y軸.茶杯(包括茶水在內)的質心位置為

(1)

式中h是杯中茶水的高度.令，(1)式即

事實上，考慮在茶杯中茶水的水平面從杯底逐漸緩慢上升的過程，茶水杯整體的質心先是逐漸降低，然后再逐漸上升.為了使茶水杯盛盡可能多的茶水并保持足夠穩定，茶水杯整體的質心應盡可能接近凳面，處于最低點的位置，故有

(2)

由(1)(2)式得

(3)

舍棄負值(不合題意)，杯中茶水的最佳高度為

(4)

【另一種解法】：

事實上，考慮在茶杯中茶水的水平面從杯底逐漸緩慢上升的過程，茶水杯整體的質心先是逐漸降低，然后再逐漸上升.為了使茶水杯盛盡可能多的茶水并保持足夠穩定，茶水杯整體的質心應盡可能接近凳面，處于最低點的位置.(1)式即

它滿足代數不等式

式中當h滿足

即

(4)

時取等號，即杯中茶水的最佳高度.】

(2)記凳子質量為M.該茶水杯的底面邊緣剛好滑移到與圓凳的邊緣內切于D點靜止后，坐標系及三腳圓凳的受力分析分別如解題圖a和解題圖b所示，其中、和分別是車內底板對凳腳A、B和C的支持力.由幾何關系有

(5)

(6)

三腳圓凳處于力平衡狀態，豎直方向合力為零

(7)

(8)

式中，，P=Mg.由(7)(8)式得

以x軸為轉動軸，力矩平衡

(9)

記，由(5)(6)(9)式有

【另一種解法】

以AC為轉動軸，由力矩平衡條件有

(9)

即

聯立以上各式得

(10)

(11)

值得指出的是，解(10)滿足，即，

(12)

這已由題給條件保證了.

由(7)(10)(11)式得，此時旅行車內底板對各凳腳的支持力相對于茶水杯滑移前的改變為

(13)

(14)