Question

【題目】某校舉行托乒乓球跑步比賽，賽道為水平直道，比賽距離為S。比賽時，某同學將球置于球拍中心，以大小為a的加速度從靜止開始做勻加速直線運動，當速度達到時，再以做勻速直線運動跑至終點。整個過程中球一直保持在球拍中心不動。比賽中，該同學在勻速直線運動階段保持球拍的傾角為，如圖所示。設球在運動中受到空氣阻力大小與其速度大小成正比（），方向與運動方向相反，不計球與球拍之間的摩擦，球的質量為m，重力加速度為g。

（1）求空氣阻力大小與球速大小的比例系數；

（2）求在加速跑階段球拍傾角隨速度變化的關系式；

（3）整個勻速跑階段，若該同學速度仍為，而球拍的傾角比大了并保持不變，不計球在球拍上的移動引起的空氣阻力變化，為保證到達終點前球不從球拍上距離中心為r的下邊沿掉落，求應滿足的條件。

Answer 1

【答案】（1），（2），（3）.

【解析】試題分析：（1）在勻速運動階段，受力平衡，根據平衡條件列式即可求解；（2）加速階段，設球拍對球的支持力為，根據牛頓第二定律即可求解；（3）根據牛頓第二定律求出球沿球拍面下滑的加速度，當球運動的位移小于等于r時，球不從球拍上掉落，根據運動學基本公式列式即可求解．

（1）在勻速運動階段，有：

得：

（2）加速階段，設球拍對球的支持力為，有：

由牛頓第二定律得：

由平衡條件得：

聯立得：

（3）以速度勻速運動時，設空氣阻力與重力的合力為F，則有

球拍傾角為時，空氣阻力與重力的合力不變，設球沿球拍面下滑的加速度大小為

由牛頓第二定律得：

設勻速跑階段所用時間為t，有：

球不從球拍上掉落的條件

聯立得：