Question

如圖所示，BCD是光滑絕緣的、豎直固定的半徑r=2.0m的圓軌道的一部分，CD為豎直直徑，僅在BC間有方向豎直向下、高度足夠高的勻強電場E，∠BOC=θ=53°．當一質量m=0.5kg的帶電小球（可看成質點）P從距水平面AB高為h的地方以v₀=7.2m/s的初速度水平拋出恰能無碰撞的從B點進入圓軌道，并從D點離開圓軌道，取g=10m/s²．已知：sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）試求：小球從B點進入電場時的速度大小v_B；
（2）若小球沿BC軌道的運動是勻速圓周運動．試問：
①小球剛到達D點時，小球對軌道的壓力？
②小球離開D點再經多長的時間到達水平面AB？

Answer 1

設帶電小球所帶電量為q，小球到達B點的速度為V_B，小球剛到達D點時，小球的速度為v_D，軌道對小球的壓力為F，勻強電場的寬度為d，帶電小球過D點進入有界電場的時間為t₁；從D點經過電場后，平拋運動的時間為t₂，小球離開D點到達水平面AB的時間為t．
（1）、帶電小球水平拋出恰能無碰撞的從B點進入圓軌道，即帶電小球在B點的速度與OB垂直，由平拋運動在B點的速度分解公式可得：
V_B=

v0

cos530

=

7.2m/s

0.6

=12m/s…①
（2）、小球沿BC軌道的運動是勻速圓周運動，在B到C中重力和電場力是一對平衡力，B到C過程，無力做功．
以B到D為研究過程，彈力不做功，無摩擦力，
由動能定理得：-mg2r=

1

2

mv_D² -

1

2

mv_B²…②
以帶電小球在D點為研究對象，有牛頓第二定律得：
mg+F=

mv 2D

r

…③
聯立①②③解之得：F=11N
根據牛頓第三定律得：小球對軌道的壓力為11N，方向豎直向上．
通過D點后，在有界電場的位移，有幾何關系得：d=rsin53°…④
過D點在有界勻強電場的時間為t₁=

d

vD

…⑤
帶電小球通過勻強電場后做平拋運動，平拋運動的高度有幾何關系得：
h_DA=2r-（r-rcos53°）…⑥
根據平拋運動豎直方向上的位移公式：h_DA=

1

2

gt₂² …⑦
小球離開D點再到達水平面AB的總時間為：t=t₁+t₂…⑧
聯立①②④⑤⑥⑦⑧解之得：t=1s
答：（1）小球從B點進入電場時的速度大小為12m/s．
（2）①小球剛到達D點時，小球對軌道的壓力為11N，方向豎直向上
②小球離開D點再經1s到達水平面AB．