Question

隨著我國登月計劃的實施，我國宇航員登上月球已不是夢想．假如我國宇員登上月球并在月球表面附近以初速度v₀豎直向上拋出一個小球，經時間t后回到出發點．已知月球的半徑為R．萬有引力常量為G．求：
（1）月球的質量；            
（2）宇航員離開月球表面返回飛船至少應獲得的速度；
（3）宇航員乘坐飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運動的繞行周期．

Answer 1

分析：（1）小球在月球表面做豎直上拋運動，由t=

2v0

g月

求出月球表面的重力加速度，物體在月球表面上時，由重力等于地月球的萬有引力求出月球的質量．
（2）宇航員離開月球表面返回飛船至少應獲得的速度大小即月球的第一宇宙速度大小．
（3）宇航員乘坐飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運動，根據重力提供向心力求得繞行周期．

解答：解：（1）小球在月球表面做豎直上拋運動，
根據勻變速運動規律得：t=

2v0

g月

解得：g_月=

2v0

t

物體在月球表面上時，由重力等于地月球的萬有引力得：

Gm月m

R2

=mg_月
m_月=

2v0R2

Gt

（2）宇航員離開月球表面返回飛船至少應獲得的速度大小即月球的第一宇宙速度，
所以

Gm月m

R2

=

mv2

R

v=

2Rv0 t

（3）宇航員乘坐飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運動，根據重力提供向心力得：
mg_月=

m?4π2R

T2

=m

2v0

t

T=π

2Rt v0

答：（1）月球的質量是

2v0R2

Gt

；            
（2）宇航員離開月球表面返回飛船至少應獲得的速度是

2Rv0 t

；
（3）宇航員乘坐飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運動的繞行周期是π

2Rt v0

．

點評：本題是衛星類型的問題，常常建立這樣的模型：環繞天體繞中心天體做勻速圓周運動，由中心天體的萬有引力提供向心力．
重力加速度g是聯系物體運動和天體運動的橋梁．