Question

2009年3月1日16時13分10秒，中國自主研制的第一個月球探測器（嫦娥一號）成功實現“受控撞月”，為我國探月一期工程畫上圓滿的句號．
（1）設探測器的質量為m，月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，“受控撞月”開始前探測器在離月球表面高為h的圓形環月軌道上正常運行．求它在此軌道上正常運行的線速度大小；
（2）假設此次進行“受控撞月”開始的過程按圖甲所示進行，探測器在A點向前短時間噴氣，減速后的探測器做向心運動沿曲線到達月球表面附近的B點．估算從A到B所用時間？分析從A到B過程中在探測器內懸掛物體的彈簧秤讀數的變化？
（3）為了增加撞擊效果，撞擊前要利用剩余的燃料對探測器進行加速，圖乙所示為探測器到達B點時速度方向的示意圖，為了使探測器能夠沿此方向做加速直線運動，請在圖乙中用由坐標原點O出發的有向線段表示出可能的一種發動機噴氣方向．

Answer 1

分析：（1）對于探測器在環月軌道上正常運行，由萬有引力提供向心力，月球表面的物體受到的重力等于萬有引力．由此兩式可解得它在此軌道上正常運行的線速度大小．
（2）減速后的探測器做橢圓運動，時間為半個周期．根據開普勒第三定律求出周期，即可求出時間．從A到B過程中在探測器內懸掛物體的彈簧秤讀數為0．
（3）為了使探測器能夠沿v_B方向做加速直線運動，所以合力的方向一定要沿v_B的方向，所以發動機噴氣方向在y軸負方向和v_B反方向之間某一條直線上．

解答：解：（1）設月球的質量為M，衛星的線速度為v，則
  G

Mm

(R+h)2

=m

v2

R+h

        ①
又在月球表面上，G

Mm

R2

=mg    ②
由①②兩式得 v=R

g R+h

      ③
（2）探測器圓周運動的周期為T₁=

2π(R+h)

v

=

2π(R+h)

R

R+h g

由開普勒第三定律得

T 2 1

T 2 2

=

(R+h)3

( 2R+h 2 )3

則橢圓運動的周期T₂=

2π

R

(2R+h)3 8g

t=

1

2

T₂=

π

R

(2R+h)3 8g

．
從A到B過程中在探測器內懸掛物體的彈簧秤讀數保持為0不變．                
（3）為了使探測器能夠沿v_B方向做加速直線運動，所以合力的方向一定要沿v_B的方向，
探測器已受月球的引力，沿y周負方向，故發動機的推力一定要在y軸正方向和v_B之間，這樣合力才可能沿v_B的方向．所以發動機噴氣方向在y軸負方向和v_B反方向之間某一條直線上．
故由O點出發在y軸負方向和v_B反方向之間的有向線段都正確．（不包括y軸負方向和v_B的反方向）．
答：
（1）探測器在此軌道上正常運行的線速度大小是R

g R+h

．
（2）從A到B所用時間為

π

R

(2R+h)3 8g

．從A到B過程中在探測器內懸掛物體的彈簧秤讀數保持為0不變．
（3）為了使探測器能夠沿此方向做加速直線運動，由O點出發在y軸負方向和v_B反方向之間的有向線段都正確．

點評：本題解題的關鍵是兩個理論的應用：1．萬有引力提供向心力；2．萬有引力近似等于重力．