Question

【題目】如圖1所示，輕質彈簧原長為2L，將彈簧豎直放置在水平地面上，在其頂端將一質量為5m的物體由靜止釋放，當彈簧被壓縮到最短時，彈簧長度為L．現將該彈簧水平放置（如圖2所示，彈簧圖略縮小），一端固定在A點，另一端與物塊P接觸但不連接．AB是長度為5L的水平軌道，B端與半徑為L的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD在豎直方向上，如圖所示．物塊P與AB間的動摩擦因數μ=0.5．用外力推動物塊P，將彈簧壓縮至長度為L處，然后釋放P，P開始沿軌道運動，重力加速度為g．

（1）求當彈簧壓縮至長度為三時的彈性勢能Ep；
（2）若P的質量為m，求物體離開圓軌道后落至AB上的位置與B點之間的距離s；
（3）為使物塊P滑上圓軌道后又能沿圓軌道滑回，求物塊P的質量取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由機械能守恒定律知，彈簧長度為L時的彈性勢能為EP，

所以有：EP=5mgL

（2）

解：設P到達B點時的速度大小為vB，由能量守恒定律得：EP= mvB2+μmg（5L﹣L）

代入數據解得：vB=

設P滑到D點時的速度為vD，由機械能守恒定律得： mvB2= mvD2+2mgL

解得：vD=

物體從D點以速度vD水平射出，設P落回到軌道AB所需時間為t

豎直方向上：2L= gt2

水平方向上：s=vDt

聯立解得：s=2

（3）

解：設P的質量為M，為使P能滑上圓軌道，它到達B點時的速度不能小于0，

則有：5mgL＞4μMgL

要使P仍能沿圓軌道滑回，P在圓軌道的上升高度不能超過半圓軌道的中點C，

則有： MvB2≤MgL

由能量關系有：EP= MvB2+4μMgL

解得： m≤M≤ m

【解析】（1）先研究彈簧豎直的情況，根據系統的機械能守恒求出彈簧最大的彈性勢能；（2）彈簧如圖放置時，由于彈簧的壓縮量等于豎直放置時的壓縮量，兩種情況彈簧的彈性勢能相等．由能量守恒定律求出物體P滑到B點時的速度，由機械能守恒定律求出物體P到達D點的速度．物體P離開D點后做平拋運動，由平拋運動的規律求水平距離；（3）根據能量守恒定律列式和臨界條件求解．
【考點精析】本題主要考查了機械能守恒及其條件的相關知識點，需要掌握在只有重力（和彈簧彈力）做功的情形下，物體動能和重力勢能（及彈性勢能）發生相互轉化，但機械能的總量保持不變才能正確解答此題．