Question

如圖所示，傾角θ=30⁰、長L=2．7m的斜面，底端與一個光滑的1/4圓弧平滑連接，圓弧底端切線水平。一個質量為m=1kg的質點從斜面最高點A沿斜面下滑，經過斜面底端B恰好到達圓弧最高點C，又從圓弧滑回，能上升到斜面上的D點，再由D點由斜面下滑沿圓弧上升，再滑回，這樣往復運動，最后停在B點。已知質點與斜面間的動摩擦因數為μ=/6，g=10m/s²，假設質點經過斜面與圓弧平滑連接處速率不變。求：

小題1:質點第1次經過B點時對圓弧軌道的壓力；
小題2:質點從A到D的過程中質點下降的高度；
小題3:質點從開始到第6次經過B點的過程中因與斜面摩擦而產生的熱量．

Answer 1

小題1:30N。
小題2:h=0.9m
小題3:12.75J

⑴設圓弧的半徑為R，則質點從C到B過程，由
  （3分）
得： N="30N " （1分）
根據牛頓第三定律，質點第1次經過B點對圓弧軌道的壓力為30N。（1分）
⑵設質點第一次由B點沿斜面上滑的速度為， B點到D點的距離為L₁
 （4分）
代入數據解得：=0．9m （1分）
則質點從A點到D點下降的高度h="0.9m " （1分）
⑶設質點第2次由B點沿斜面上滑的速度為，沿斜面上滑的距離為L₂．則
 （2分）
得： （1分）
同理可推得：質點第n次由B點沿斜面上滑的距離L_n為（1分）
所以質點從開始到第6次經過B點的過程中，在斜面上通過的路程為
S=L+2（L₁+L₂）=5．1m （1分）
Q=μmgcos30⁰S="12.75J  " （1分）
說明：此題有多種解法，參照給分。