Question

如圖所示，質量均為m、電荷量均為q的帶負電的一簇粒子從P₁（-a，b）點以相同的速率v₀在：xoy平面內朝x軸上方的各個方向射出（即0＜θ≤π），不計重力及粒子間的相互作用，且已知a足夠大．
（1）試在圖（甲）中的適當位置和區域加一垂直于xoy平面、磁感應強度為B的勻強磁場，使這簇帶電粒子通過該磁場后都沿平行于x軸方向運動．在圖中定性畫出所加的最小磁場區域邊界的形狀和位置．
（2）試在圖（乙）中的某些區域加垂直于xoy平面、磁感應強度為B的勻強磁場，使從P₁點發出的這簇帶電粒子通過磁場后都能通過P₂（a，b）點．要求：
①說明所加磁場的方向，并在圖中定性畫出所加的最小磁場區域邊界的形狀和位置；
②定性畫出沿圖示v₀方向射出的帶電粒子運動的軌跡；
③寫出所加磁場區域與xoy平面所成截面邊界的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，設帶電粒子從A點離開磁場區域，A點坐標為（x、y），運用數學上參數方程的方法得出A點的坐標的兩個參數方程，即可求出磁場邊界的軌跡方程，由數學知識求出邊界的形狀和位置．
（2）根據對稱性可得出在P₂處所加的磁場最小區域的形狀和位置，再畫出軌跡．

解答：解：（1）設帶電粒子從A點離開磁場區域，A點坐標為（x、y），粒子旋轉的半徑為R，旋轉的圓心在C點，旋轉圓心角為α，則
   x=一a+Rsinα，
   y=R-Rcosα，
解得（x+a）²+（y-R）²=R²．
可見，所加磁場的邊界的軌跡是一個以（-a，R）為圓心，
半徑為R=

mv0

Bq

的圓．該圓位于x軸上方且與P₁點相切．
（2）根據對稱性可得出在P₂處所加的磁場最小區域也是圓，同理可求得其方程為（x-a）²+（y-R）²=R² 
圓心為（a，R），半徑為R=

mv0

Bq

，
由數學知識可知該圓位于x軸上方且與P₂點相切；
根據左手定則判斷得知，磁場方向垂直于xOy平面向里；
沿圖示v₀方向射出的帶電粒子運動的軌跡如圖所示．
答：
（1）所加磁場的邊界的軌跡是一個以（-a，R）為圓心，半徑為R=

mv0

Bq

的圓．該圓位于x軸上方且與P₁點相切．
（2）①所加磁場的方向垂直于xOy平面向里；在圖中定性畫出所加的最小磁場區域邊界的形狀是圓，該圓位于x軸上方且與P₂點相切．如上圖所示；
②定性畫出沿圖示v_o方向射出的帶電粒子運動的軌跡如圖；
③所加磁場區域與xOy平面所成截面邊界的軌跡方程為（x-a）²+（y-R）²=R²．圓心為（a，R），半徑為R=

mv0

Bq

．

點評：本題關鍵是運用數學知識解決帶電粒子的軌跡問題，采用參數方程的方法，并抓住對稱性進行分析．