Question

(22分)如圖（a），小球甲固定于水平氣墊導軌的左端，質量m=0.4kg的小球乙可在導軌上無摩擦地滑動，甲、乙兩球之間因受到相互作用而具有一定的勢能，相互作用力沿二者連線且隨間距的變化而變化。現已測出勢能隨位置x的變化規律如圖（b）中的實線所示。已知曲線最低點的橫坐標x₀=20cm，虛線①為勢能變化曲線的漸近線，虛線②為經過曲線上某點的切線。

（1）將小球乙從x₁=8cm處由靜止釋放，小球乙所能達到的最大速度為多大？
（2）假定導軌右側足夠長，將小球乙在導軌上從何處由靜止釋放，小球乙不可能第二次經過x₀=20cm的位置？并寫出必要的推斷說明；
（3）若將導軌右端抬高，使其與水平面的夾角α=30°，如圖(c)所示。將球乙從x₂=6cm處由靜止釋放，小球乙運動到何處時速度最大？并求其最大速度；
（4）在圖(b)上畫出第（3）問中小球乙的動能E_k與位置x的關系圖線。

Answer 1

（1）（2）見解析（3）0.55m/s（4）見解析

（1）(6分)球乙運動到位置時勢能最少，速度最大，
能量守恒：，                                       
解出                               
（2）(6分)在0<x<6cm區間內將小球乙由靜止釋放，不可能第二次經過x₀。          
原因： 在0<x<20cm區間內兩球之間作用力為排斥力，在20cm <x<∞區間內兩球之間作用力為吸引力，無窮遠處和6cm處的勢能均為0.28J。若小球乙的靜止釋放點在6cm <x<∞區間，小球乙將做往復運動，多次經過x₀=20cm的位置。而靜止釋放點在0<x<6cm區間內時，初態勢能大于0.28J，小球乙將會運動到無窮遠處而無法返回，只能經過x₀位置一次。                   
（3）(6分)x₃=12cm處的切線斜率 ，
表明此處乙球受到甲球2N的排斥力，                                  
乙球此處受到重力的分力                    
所以，乙球在x₃=12cm處時，所受合外力等于零，速度最大，              
從圖中讀出x₃=12cm處的勢能E_p3=0.1J，x₂=6cm處的勢能E_p2=0.28J，      
能量守恒：，                
解出==……=m/s =0.55m/s     
（4）(4分)作圖要求：
三個關鍵點的位置正確：
x₂=6cm處的動能E_k=0；                                               
x₃=12cm處的動能E_k=0.06J；                                      
x₄=20cm處的動能E_k=0                                                
曲線要求平滑，斜率變化正確。                                         

本題考查的是兩個物體間相互作用力與勢能的關系問題，首先根據能量守恒勢能全部轉化為動能時速度最大計算出速度；然后根據相互作用引力與斥力的變化情況和相互作用勢能可分析出小球的釋放位置；根據受力分析與能量守恒可解出速度；最后把握幾個關鍵點的位置即可作圖；