Question

【題目】某游樂場的一項游樂設施如圖甲所示，可以簡化為如圖乙所示的模型，已知圓盤的半徑為R＝2.5 m，懸繩長L＝R，圓盤啟動后始終以恒定的角速度轉動，圓盤先沿著桿勻加速上升，再勻減速上升直到到達最高點(整個上升過程比較緩慢)，當圓盤上升到最高點轉動時，懸繩與豎直方向的夾角為45°，重力加速度取g＝10 m/s2。求：

(1)圓盤轉動的角速度；

(2)若圓盤到達最高點時離地面的高度為h＝22.5 m，為了防止乘客攜帶的物品意外掉落砸傷地面上的行人，地面上至少要設置多大面積的區域不能通行；

(3)已知甲乙兩名乘客的質量分別是m1和m2(m1>m2)，在圓盤加速上升的過程中，他們座椅上的懸繩與豎直方向的夾角分別為θ1和θ2，比較θ1和θ2的大小關系。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】(1)設乘客和座椅的總質量是m，懸繩拉力為FT

豎直方向上：FTcosθ＝mg

水平方向上：FTsinθ＝mω2(R＋Rsinθ)

以上兩式聯立解得ω＝ rad/s。

(2)物品掉落時的速度v＝ω(R＋Rsinθ)＝5 m/s

物品掉落后做平拋運動

豎直方向有h－Rcosθ＝

解得t＝2 s

平拋運動的水平位移為x＝vt＝10 m

設置禁止通行區域半徑為R′＝＝15 m

得S＝πR′2＝225π m2。

(3)設加速上升過程中，圓盤上升加速度為a

豎直方向：FTcosθ－mg＝ma

水平方向：FTsinθ＝mω2(R＋Rsinθ)

兩式聯立可得(g＋a)tanθ＝ω2(R＋Rsinθ)

可見θ與質量無關，即θ1＝θ2。