Question

甲、乙 兩顆人造地球衛星在同一軌道平面上的不同高度處同向運行，甲距地面高度為地球半徑的0.5倍，乙甲距地面高度為地球半徑的5倍，兩衛星在某一時刻正好位于地球表面某處的正上空，試求：
（1）兩衛星運行的速度之比；
（2）乙衛星至少經過多少周期時，兩衛星間的距離達到最大？

Answer 1

分析：衛星的向心力由萬有引力提供，

GMm

r2

=

mv2

r

，即可求出它們的速度關系；衛星間的距離第一次最大時，它們轉過的角度差π．

解答：解：（1）衛星的向心力由萬有引力提供，

GMm

r2

=

mv2

r

，
得：v=

GM r

所以：

v1

v2

=

r2 r1

=

1+5 1+0.5

=

2

1

（2）衛星的向心力由萬有引力提供：

GMm

r2

=m

4π2r

T2

得：T=

4π2r3 GM

所以：

T甲

T乙

=

r 3 1 r 3 2

=

1

8

又因為衛星間的距離第一次最大時，它們轉過的角度差π：

2π

T甲

t-

2π

T乙

t=π
解得：t=

T乙

14

答：（1）兩衛星運行的速度之比2：1；
（2）乙衛星至少經過

T乙

14

周期時，兩衛星間的距離達到最大．

點評：該題考查萬有引力定律的一般應用，其中衛星間的距離第一次最大時，它們轉過的角度差π是解決問題的關鍵．屬于中檔題目．