Question

某星球表面，宇航員做了如下實驗，如圖甲所示，一豎直平面內的軌道由粗糙斜面AD和光滑圓軌道DCE組成，AD與DCE相切于D點，C為圓軌道的最低點，將一小物塊置于軌道ADC上離地面高為H處由靜止下滑，用力傳感器測出其經過C點時對軌道的壓力F_N，改變H的大小，可測出相應的F_N的大小，F_N隨H的變化關系如圖乙折
線PQI所示（PQ與QI兩直線相連接于Q點），QI反向延長交縱軸于F點（0，11N），求：

（1）軌道的半徑；
（2）物塊與斜面AD間的動摩擦因數μ．
（3）若已知小物塊的質量為2.5Kg，星球半徑4000km則在該星球上發射一顆人造衛星的最小速度．

Answer 1

分析：（1）通過圖象得出D點的高度為0.1m，結合H=0m和H=0.1m時的壓力，根據牛頓第二定律和動能定理求出軌道半徑的大小．
（2）根據幾何關系求出斜面傾角的正切值和余弦值，通過動能定理和牛頓第二定律求出壓力與H的關系式，通過圖線截距求出動摩擦因數的大小．
（3）根據物塊的重力求出重力加速度的大小，根據重力提供向心力求出人造衛星的最小發射速度．

解答：解：（1）根據圖象可以確定：當H₁=0時，N₁=10N；
 當H₂=0.1m  N₂=12N
在c點：N₁=mg   
解得mg=10N
N₂-mg=m

vC2

R

 
從D到C，根據動能定理得：mgH₂=

1

2

mvC2  
 聯立解得R=1m  
（2）根據圖象：D點比C點高H₂=0.1m，所以：
cosθ=

9

10

   tanθ=

19

9

設物體從AD間的某一點下滑，則：
mgH-μmgADcosθ=

1

2

mvC2
N-mg=m

vC2

R

    
AD=

H-H2

sinθ

整理得：
N=

2mg(tanθ-μ)

Rtanθ

H+mg(1+

2μH2

tanθ

) 
根據圖象得：
mg(1+

2μH2

tanθ

)=11      
解得   μ=

19

18

   
（3）因為m=2.5kg
則重力加速度g=

10

2.5

=4m/s2．
根據mg=m

v2

R

得，v=

gR

=4×103m/s．
答：（1）軌道的半徑為1m．（2）物塊與斜面AD間的動摩擦因數μ=

19

18

．（3）人造衛星最小的發射速度為4×10³m/s．

點評：本題考查了牛頓第二定律、動能定理與圖象的綜合，對于圖象問題關鍵得出兩個物理量的關系式，結合圖線的斜率或截距進行求解．