Question

一足夠長的矩形區域abcd內充滿磁感應強度為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場，矩形區域的左邊界ad長為L，現從ad中點O垂直于磁場射入一速度方向與ad邊夾角為30°，大小為v₀的帶正電粒子，如圖所示，已知粒子電荷量為q,質量為m（重力不計）：

（1）若要求粒子能從ab邊射出磁場，v₀應滿足什么條件？

（2）若要求粒子在磁場中運動的時間最長，粒子應從哪一條邊界處射出，出射點位于該邊界上何處？最長時間是多少？

Answer 1

解：當軌跡與cd邊相切時，是粒子能從ab邊射出磁場區域時軌跡圓半徑最大的情況，設此半徑為R₁，如圖1所示分析可知∠OO′Q=60°，則有R₁cos60°+=R₁,R₁=L。當軌跡圓與ab邊相切時，是粒子能從ab邊射出磁場區域時軌跡圓半徑最小的情況，設此半徑為R₂，如圖2所示分析可知∠OO′Q=120°，則有

         

(圖1)                               (圖2)

R₂sin30°+R₂=,R₂=

故粒子從ab邊射出的條件為R₂＜R≤R₁,即＜R≤L。

根據qv₀B=得v₀=。所以＜v₀≤

（2）由T=，則t=

∴粒子在磁場區域內做勻速圓周運動的圓心角越大，粒子在磁場中運動時間越長。從兩圖中可以看出，如果粒子從cd邊射出，則圓心角最大為60°，若粒子從ab邊射出，則圓心角最大為240°，粒子從ad邊射出，圓心角最大為360°－60°＝300°，由于磁場無右邊界，故粒子不可能從右側射出。

綜上所述，為使粒子在磁場中運動的時間最長，粒子應從ad邊射出，如圖2所示，設出射點到O的距離為x，從圖中可以看出，P點是離O距離最大的出射點。

因PO=R₂=故x≤，即出射點到O的距離不超過，t_max=。