Question

【題目】如圖所示，水平軌道MN與半徑為R的豎直光滑圓弧軌道相切于N點．質量為m的小滑塊A靜止于P點．質量為M=2m的小滑塊B以速度v0向右運動，A、B碰后粘連在一起，已知A、B與水平面間的動摩擦因數為μ，MP和PN距離均為R，求：

（1）AB碰撞過程中損失的機械能？
（2）當v0的大小在什么范圍時，兩小球在圓弧軌道內運動時不會脫離圓弧軌道？已知重力加速度為g．

Answer 1

【答案】
（1）解：小滑塊B運動到P時的速度設為v1，對B應用動能定理有：

﹣μMgR= Mv12﹣ Mv02，

當ab粘在一起過程中，設ab粘在一起時的速度為v1，對ab應用瞬間動量守恒，選取向右為正方向，有：

Mv1=（M+m）v2，

應用功能關系可知ab碰撞過程中損失的機械能△E= Mv12﹣ （M+m）v22，

解得△E= ；

答：AB碰撞過程中損失的機械能為 ；

（2）A、B碰撞后的速度為v1，欲使A、B運動時不脫離圓弧軌道，有兩種可能：

①當v0較小時A、B在圓弧上擺動，若A、B最高點恰好能到與圓心等高的位置，對A、B，從碰后到與圓心等高的地方，由動能定理有：

﹣μ（M+m）gR﹣（M+m）gR=0﹣ （M+m）v22，

聯立得v0= ；

②當v0較大時，A、B能夠做完整的圓周運動．若A、B恰好做完整圓周運動時的情形，對A、B，從碰后運動到圓周最高點（設此時速度為v3）的過程中，由動能定理有：

﹣μ（M+m）gR﹣（M+m）g（2R）= （M+m）v32﹣ （M+m）v22，

在最高點時，由牛頓第二定律得（M+m）g= ，

聯立得v0= ，綜上所述，當v0≤ 或v0≥ 時，兩小球在圓弧軌道內運動時不會脫離圓弧軌道

答：當v0≤ 或v0≥ 時，兩小球在圓弧軌道內運動時不會脫離圓弧軌道．

【解析】（1）碰撞后兩個物塊粘到一起，屬于完全非彈性碰撞能量損失最大。先根據動能定理求出B物塊運動到P時的速度，然后根據動量守恒，求出兩物塊粘在一起共同速度，用碰撞前的總動能減去碰撞后的總動能，就是碰撞過程中損失的機械能。
（2）首先分析兩物塊而不脫離軌道的可能，一種情況是A、B最高點恰好能到與圓心等高的位置，還有一種情況A、B恰好做完整圓周運動，對兩種情況分別應用動能定理求出初速度的范圍值。
【考點精析】掌握向心力和功能關系是解答本題的根本，需要知道向心力總是指向圓心，產生向心加速度，向心力只改變線速度的方向，不改變速度的大小；向心力是根據力的效果命名的.在分析做圓周運動的質點受力情況時，千萬不可在物體受力之外再添加一個向心力；當只有重力（或彈簧彈力）做功時，物體的機械能守恒；重力對物體做的功等于物體重力勢能的減少:W G =E p1 -E p2；合外力對物體所做的功等于物體動能的變化:W 合 =E k2 -E k1 （動能定理）；除了重力（或彈簧彈力）之外的力對物體所做的功等于物體機械能的變化:W F =E 2 -E 1．