Question

（本小題滿分14分）已知函數，其中．(1) 討論函數的單調性，并求出的極值；(2) 若對于任意，都存在，使得，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）在單調遞減，在單調遞增。；（2）。

解析試題分析：(1)，所以。
易知，在單調遞減，在單調遞增。
所以.
（2）由（1）知在單調遞減，在單調遞增；
，易知g(x)在。
當0<k≤2時，，所以，，要滿足題意需1+k≥2-2k，即，所以此時；
當2<k≤4時，，，
令，，顯然，又<0，所以此時滿足題意。綜上知。.
考點：利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值。
點評：（1）利用導數求函數的單調區間，一定要先求函數的定義域。（2）第二問分析出“定義域上g(x)極小值≤f(x)極小值”是解題的關鍵，考查了學生分析問題和解決問題的能力。