Question

【題目】設函數f(x)=ex-1-x-ax2.

(1)若a=0,求f(x)的單調區間;

(2)若當x≥0時,f(x)≥0,求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f(x)在(-∞,0)內單調遞減,在(0,+∞)內單調遞增；（2）a的取值范圍為.

【解析】試題分析：（1）求導數，再求導函數零點，根據導函數符號確定單調區間，（2）當自變量大于零時分離變量： ，再利用導數求函數單調性，根據單調性確定最值取法，利用洛必達法則求函數最小值，即得a的取值范圍

試題解析：(1)當a=0時,f(x)=ex-1-x,f'(x)=ex-1.

當x∈(-∞,0)時,f'(x)<0;當x∈(0,+∞)時,f'(x)>0.

故f(x)在(-∞,0)內單調遞減,在(0,+∞)內單調遞增.

(2)f'(x)=ex-1-2ax.

由(1)知f(x)≥f(0),即ex≥1+x,當且僅當x=0時等號成立,故f'(x)≥x-2ax=(1-2a)x.

當a≤時,1-2a≥0,f'(x)≥0(x≥0),f(x)在[0,+∞)上是增函數,

因為f(0)=0,于是當x≥0時,f(x)≥0.符合題意.

當a>時,由ex>1+x(x≠0)可得e-x>1-x(x≠0).

所以f'(x)<ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),

故當x∈(0,ln 2a)時,f'(x)<0,而f(0)=0,于是當x∈(0,ln 2a)時,f(x)<0.不符合題意.

綜上可得a的取值范圍為.