Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(b＞a＞0)，O為坐標原點，離心率e=2，點M(

5

，

3

)在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點，且

OP

•

OQ

=0．問：

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

是否為定值？若是請求出該定值，若不是請說明理由．

Answer 1

（1）∵離心率e=2，點M(

5

，

3

)在雙曲線上，∴

5 a2 - 3 b2 =1 c a =2 c2=a2+b2

，解得

a2=4 b2=12 c2=16

．
故所求雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

12

=1．
（2）設直線OP方程為y=kx（k≠0），聯立3x²-y²=12．
聯立

y=kx 3x2-y2=12

解得

x2= 12 3-k2 y2= 12k2 3-k2

，∴|OP|²=x2+y2=

12(k2+1)

3-k2

．
則OQ方程為y=-

1

k

x，同理解得|OQ|2=

12(k2+1)

3k2-1

．．
∴

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

3-k2+3k2-1

12(k2+1)

=

1

6

．是定值．